NOTION Fonction-convexe-fonction-concave

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Convexité
Fonction convexe – fonction concave
Définition
Fonction convexe
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et
Cf sa courbe représentative.
• La fonction f est convexe sur I signifie que la
courbe Cf est située entièrement au-dessus
de chacune de ses tangentes.
Exemple
La fonction carrée et la fonction exponentielle
sont convexes sur R.

Définition
Fonction concave
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et
Cf sa courbe représentative.
• La fonction f est concave sur I signifie
que la courbe Cf est située entièrement en
dessous de chacune de ses tangentes.
Exemple
La fonction logarithme népérien est concave sur
]0; +∞[.

Remarque
Une fonction peut être convexe sur un intervalle
et concave sur un autre. Par exemple la fonction
cube est concave sur ]−∞; 0] et convexe sur [0; +∞[.

Propriété
Convexité et opérations
• Si f et g sont deux fonctions convexes sur I
alors f + g est convexe sur I.
• Si k est un réel strictement positif et f une
fonction convexe sur I alors kf est convexe
sur I.
• Si f est convexe sur I alors −f est concave sur
I.
Les trois propriétés ci-dessus sont également
vraies si on remplace « convexe » par « concave ».
Exemple
Soit f définie sur [0; +∞[ par f (x) = 3ex −

x

• f est convexe sur [0; +∞[ par application des
règles ci-dessus.