NOTION Équation-fxk

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Continuité et équation f (x) = k
Équation f (x) = k
Théorème
Existence et unicité de la solution à l’équation
f (x) = k
Si f est continue et strictement monotone sur
[a; b], alors pour tout réel k compris entre f (a)
et f (b), l’équation f (x) = k admet une solution
unique c appartenant à [a; b].

Remarque
Importance de l’hypothèse de continuité
Si f n’est pas continue en un point, il se pourrait
que k, bien que compris entre f (a) et f (b) ne
possède pas d’antécédent comme le montre
l’illustration ci-dessous.

Remarque
Importance de l’hypothèse de monotonie
Si f est continue mais pas strictement monotone
alors k peut avoir plusieurs antécédent dans
[a; b] et l’équation f (x) = k a par conséquent
plusieurs solutions. C’est cette situation (illustrée
ci-dessous) qui porte le nom de « théorème des
valeurs intermédiaires ».

Remarque
Le théorème est encore valide si l’intervalle [a; b] est ouvert ou semi-ouvert. De même si a ou b
désigne +∞ ou −∞.
Propriété
Cas particulier f (x) = 0
Si f est continue et strictement monotone sur
[a; b] et si f (a) et f (b) sont de signes contraires
(ce qui se traduit aussi par f (a) × f (b) < 0), alors
l’équation f (x) = 0 admet une unique solution c
appartenant à [a; b].
Exemple
En étudiant le tableau de variation ci-dessus (déjà
donné plus haut), on remarque que :
• f (1) = 5 et f (6) = −4 donc f (1) et f (6) de
signes contraires
• la fonction est continue et strictement
décroissante sur [1; 6] Donc en appliquant la propriété à l’intervalle [1; 6],
on peut dire :
• l’équation f (x) = 0 admet une solution
unique c appartenant à [1; 6] • autrement dit : f s’annule une seule fois sur
l’intervalle [1; 6] Pour pouvoir conclure sur les autres intervalles de
monotonie, il faudrait connaître le comportement
de f en +∞ et −∞.