NOTION Définition-de-la-dérivée

Le 20-03-2019

La dérivation

Rappels généraux sur la dérivation
Définition de la dérivée
Définition
Fonction dérivable
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et
a appartenant à I.
f est dérivable en a si :
• limh→0

f (a+h)−f (a)
h

existe et est un nombre

réel.
Remarque
« En remplaçant h par x − a » cette formulation est
équivalente à :
• limx→a

f (x)−f (a)
x−a

 existe et est un nombre réel.

Définition
Nombre dérivé
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et
a un réel appartenant à I.
Le nombre dérivé de f en a est :
• limh→0

f (a+h)−f (a)
h

Exemple
Soit la fonction f définie par f (x) = x2 sur R.
• limh→0

f (1+h)−f (1)
h

=

limh→0

h2 +2h+1−1
h

=

limh→0 h + 2 = 2
• Donc f est dérivable en 1 et f ′ (1) = 2.
Définition
Fonction dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction f ′
définie par :
• f ′ (x) = limh→0

f (x+h)−f (x)
h

Exemple
Soit la fonction f définie par f (x) = 2×2 sur R.
• limh→0
limh→0

f (x+h)−f (x)
h

=

2x +4xh+2h −2x
h
2

2

2

limh→0

2(x+h)2 −2×2
h

=

= limh→0 4x + 2h2 = 4x

• Donc f est dérivable et sa fonction dérivée
est la fonction f ′ qui à tout x associe 4x.