DEMO Étudier-une-fonction-de-la-forme-sqrtux

Le 20-03-2019

La dérivation

Étudier une fonction de la forme

u(x)
Soit la fonction f définie par f (x) =

x−1
x+1

sur ]1; +∞[.

Détermine si f est dérivable, sur quel intervalle, et
calcule sa dérivée le cas échéant.

Etape 1 : Repérer la composition de fonctions
• Tu remarques que f est composée de plusieurs
fonctions :
– la fonction racine carrée ;
– une fonction qu’on appellera u définie par
u(x) =

x−1
x+1 .

• On a alors f (x) =


u(x).

Etape 2 : Étudier la dérivabilité de la fonction
u
• u

est

un

quotient

de

polynômes

dont

le

dénominateur s’annule en −1 uniquement.
• Donc u est définie et dérivable sur ] − ∞; −1[ et ] −
1; +∞[.

Etape 3 : Étudier le signe de la fonction u
• Comme f =

u, on sait d’après le cours que f est

dérivable là où u est strictement positive. 
– On cherche donc à déterminer l’intervalle sur
lequel u est strictement positive.
• Commençons donc par étudier le signe de u avec
le tableau qui suit :

Etape 4 :

En déduire l’intervalle de

dérivabilité de f
• D’après le tableau précédent, u est une fonction
strictement positive sur l’intervalle ]1; +∞[. 
• Par ailleurs, on a démontré en étape 2 que u est
dérivable sur ]1; +∞[.
• u est strictement positive et dérivable sur ]1; +∞[,
donc d’après le cours f est dérivable sur ]1; +∞[.

Etape 5 : Calculer la fonction dérivée
f=

u. Or le cours nous dit :

• f′ =

u
√ .
2 u

Il nous faut donc calculer u′ en utilisant les dérivées
usuelles :
• u′ (x) =

(x+1)×1−1×(x−1)
(x+1)2

=

2
(x+1)2

On en déduit l’expression de f ′ :
• f′ =

2
(x+1)2

×

1
(x+1)2

×

√1
2 x−1
x+1

Donc :
• f′ =

x+1
x−1