TS – CHAP 09 – CALCUL INTEGRAL – 1cours

Le 20-03-2019

TS

CALCUL INTEGRAL
 DEFINITION
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I, et soit a et b deux éléments de I.
b

On appelle intégrale de f entre a et b, et on note

 f x  dx , le nombre réel défini par :
a

b

 f x  dx  F b  F a 

où F est une primitive quelconque de f sur I.

a

b

On écrit aussi

:

 f x  dx  F x 

b
a

.

a

 PROPRIETES IMMEDIATES
b

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition :

 f x  dx  F b  F a  .
a

a

 Intégration entre deux bornes égales :  f x dx  0 .
a
a

 Inversion des bornes :

b

 f x dx   f x dx .
b

a
b

 Intégration d’une constante :  k dx  k b  a 

, où k est un réel quelconque.

a

 RELATION DE CHASLES
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I, et soit a , b , c trois réels de I.
On a :

b

c

b

a

a

c

 f x dx   f x dx   f x dx .

 LINEARITE DE L’INTEGRALE
Soit f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle I, et soit a et b deux réels de I.
Alors pour tous réels  et  , on a :

b

b

b

a

a

a

 f x   g x  dx    f x  dx    g x  dx .

 THEOREME D’INTEGRATION PAR PARTIES
Soit u et v deux fonctions deux fois dérivables sur  a ; b  .
b

Alors :

b

 ux  v’ x  dx   ux  vx     u’ x  vx  dx .
b
a

a

a

 PARITE ET INTEGRATION
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I centré en O. Pour tout réel a de I, on a :
a

 si f est paire :

a

MATHEMATIQUES

a

f x  dx  2 f x  dx
0

a

 si f est impaire :

 f x  dx  0

a

CHAPITRE 9 : CALCUL INTEGRAL – Fiche de cours – 1

TS

 POSITIVITE D’UNE INTEGRALE
Soit f une fonction intégrable sur  a ; b  . Si f  0 , alors

b

 f x dx  0 .
a

 COMPARAISON D’INTEGRALES
b

b

a

a

Soit f et g deux fonctions intégrables sur  a ; b  . Si f  g sur  a ; b  , alors :  f x dx   g x dx .

 INEGALITE DE LA MOYENNE

Soit f une fonction intégrable sur  a ; b  .
 Si les réels m et M sont tels que m  f  x   M pour tout x   a ; b  , alors :
b

m b  a    f x  dx  M b  a  .
a

 Si f x   M pour tout x   a ; b  , alors :

b

 f x  dx  M b  a  .
a

 VALEUR MOYENNE D’UNE FONCTION
Soit f une fonction intégrable sur  a ; b  avec a  b .

b

1
La valeur moyenne de f sur  a ; b  est le réel  
f x  dx .
b  a a

 INTEGRALE ET AIRE

Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle  a ; b  ( avec a  b ).
L’aire du domaine délimité par C f , l’axe des abscisses, les droites d’équations x  a et x  b est :
b

 f x dx

(unités d’aire).

a

 AIRE ENTRE 2 COURBES

Soit f et g deux fonctions dérivables, et soit a et b deux réels de I tels que a  b .
Lorsque f  g sur  a ; b  ,
l’aire du domaine délimité par les courbes C f et C g , et par les droites d’équations x  a et x  b
b

est : Aire   f x   g x  dx

(unités d’aire).

a

 CALCUL DE VOLUMES

On considère un solide limité par les plans parallèles d’équations z  a et z  b ( avec a  b ).
Pour tout z ( a  z  b ) on note :
 Pz le plan perpendiculaire à (Oz) et de cote z.
 S (z ) l’aire de la section du solide par le plan Pz .
Lorsque S est une fonction dérivable sur  a ; b  , le volume V du solide, exprimé en unités de
b

volume, est calculé par :

v   S ( z) dz .
a

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 9 : CALCUL INTEGRAL – Fiche de cours – 2