NOTION Intégrales-et-calcul-de-moyenne

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Propriétés des intégrales
Intégrales et calcul de moyenne
Calcul intégral et moyenne
Soient a et b deux réels tels que a ̸= b. Soit f une
fonction continue sur [a; b].
On appelle valeur moyenne m de f sur [a; b] le
résultat suivant :
∫ bf
1
• m = b−a
(x)dx
a
Exemple
Calculons la moyenne de la fonction carrée entre
−1 et 3.
• m=
10
12

=

1
3−(−1)

∫3

x2 dx =
−1

5
6

1
4

[

x3
3

]3
−1

=

1
4

[9
3

+

1
3

]

=

• La valeur moyenne de la fonction carré entre
−1 et 3 est donc 56 .
Remarque
• Par abus de langage, on peut dire que
chercher la valeur moyenne de f revient
à chercher la hauteur d’un rectangle dont
l’aire est égale à l’aire sous la courbe.

Remarque
• Cela permet par exemple de calculer la
vitesse moyenne d’un véhicule dont on a
l’expression mathématique de la vitesse au
cours du temps.
• Il faut rapprocher cette formule de celle de
la moyenne de données discrètes.
En effet, quand tu veux faire la moyenne de tes
notes sur l’année, tu fais l’opération suivante :
• m=

note1 +note2 +…+noten
n

Tu divises la somme de tes notes par le nombre de
notes.Le principe ici est le même : on « somme »
toutes les valeurs prises par f , et on divise par la
longueur de l’intervalle sur lequel on a sommé :
b−a