NOTION Calcul-intégral

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Calcul intégral et primitives
Calcul intégral
Théorème
Relation entre intégrales et primitives
Soient a et b deux réels, f une fonction continue
sur [a; b]. Soit F une primitive quelconque de f sur
[a; b].

∫a
b

f (x)dx = F (b) − F (a)

• On note F (b) − F (a) = [F (x)]ba
Remarque
• On notera que x est ce qu’on appelle une
variable « muette » : il intervient dans le
calcul de l’intégrale, mais n’apparaît plus
dans le résultat.

∫a
b

f (x)dx =

∫a
b

f (t)dt =

∫a
b

f (h)dh

• La notation « dx » qu’il ne faut surtout pas
oublier dans l’expression indique quelle est
la variable muette d’intégration.
Exemple

∫ −1
2

2x dx = [x2 ]2−1 = 22 − (−1)2 = 4 − 1 = 3

Théorème
Influence du choix de la primitive sur le calcul
intégral
Soient a et b deux réels, f une fonction continue
sur [a; b].
Soient G et H deux primitives de f distinctes.
La valeur de l’intégrale ne dépend pas de la
primitive choisie. C’est-à-dire :
∫b
• a f (x)dx = G(b) − G(a) = H(b) − H(a)
Exemple
Calculons la même intégrale que dans l’exemple
précédent, en choisissant une autre primitive.

∫ −1
2

2x dx = [x2 + 2]2−1 = 22 + 2 − ((−1)2 + 2) =

22 − (−1)2 + 2 − 2 = 3
La constante s’annule d’elle-même et on retombe
bien sur le même résultat.