DEMO Encadrer-une-intégrale

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Encadrer une intégrale
On considère la fonction f définie pour tout réel x par
f (x) = x1 .
1.

Démontrez que pour tout entier naturel n non

1
nul, et tout x ∈ [n; n + 1] :  n+1

2.

1
x

1
n

En déduire que pour tout entier n
≤ ln(1 +

1
n+1

1
n)

Etape 1 :

1 :

1
n

Encadrer

en utilisant les

1
x

propriétés dans la fonction inverse
Soit n un entier naturel non nul et x un réel appartenant
à [n; n + 1].
• Alors n ≤ x ≤ n + 1
• La fonction inverse étant décroissante sur ]0; +∞[,
on a

1
n+1

1
x

1
n

Etape 2 : Faire le lien avec les intégrales
• Tu remarqueras qu’entre la question 1) et la
question 2), on passe d’une inégalité impliquant
“un x1 ” à une inégalité impliquant la fonction ln.
• Or on sait d’après le cours qu’une primitive de f :
x 7→

1
x

est la fonction ln.

– On est sur la bonne piste !
– Il faut donc utiliser les intégrales pour passer
de la première inégalité à la seconde.
– Mais quelles bornes utiliser ?

Etape 3 : Utiliser les propriétés de ln pour
trouver les bornes d’intégration
C’est l’étape la plus délicate : elle demande un peu
d’intuition. Fais cette recherche au brouillon : elle a pour
but de savoir par où commencer.  
• Soit n un entier naturel non nul.
– ln(1 + n1 ) = ln( n+1
n )
– = ln(n + 1) − ln(n)
– = [ln(x)]n+1
n
• On reconnaît une écriture de la forme [F (x)]ba .
• On va donc intégrer entre les bornes n et n + 1

Etape 4 : Déduire l’encadrement en utilisant
la propriété de conservation de l’ordre des
intégrales
• D’après le résultat trouvé en question 1), pour tout
entier naturel n ≥ 1 et tout x de [n; n + 1] :

1
n+1

1
x

1
n

 
• Or les fonctions constantes et la fonction inverse
sont continues sur ]0; +∞[, donc sur tout invervalle
de la forme [n; n + 1] avec n ̸= 0.
 
• On peut donc utiliser la propriété de conservation
de l’ordre des intégrales qui nous donne l’inégalité
suivante :
∫ n+1

n

1
n+1 dx

∫ n+1

n

1
x dx

∫ n+1
n

1
n dx

  
• Or, x 7→ ln(x) est une primitive de x 7→

1
x

sur [0; +∞[,

donc :

• [ln(x)]n+1
=
n

∫ n+1
n

1
x dx

Etape 5 : Prouver l’inéquation de base
Il s’agit donc d’encadrer x1 . On passe alors au propre :
• Soit n un entier, n ≥ 1.
x ∈ [n; n + 1] ⇔ n ≤ x ≤ n + 1 ⇔

1
n

fonction inverse est décroissante sur

1
x


R+
)

1
n+1

1
n+1

(car la

1
x

1
n

Etape 6 : Passer à l’intégrale
Alors, d’après la propriété de conservation de l’ordre
de l’intégrale, on a, pour tout entier n ≥ 1 :

∫ n+1
n

1
n+1 dx

∫ n+1
n

1
x dx

∫ n+1
n

1
n dx

• Donc par linéarité de l’intégrale :
∫ n+1 1

1 n+1
1dx
x dx ≤ n n
n
• Donc

1
n+1 [x]n ^n+1≤

[ln(x)]n ^n+1≤

1
n+1

1 n+1≤ln(1+ 1 )≤ 1

n

Etape 7 : Conclure
On a bien prouvé que pour tout entier n ≥ 1,

1
n+1

≤ ln(1 + n1 ) ≤

1
n

n

1
n [x]n ^n+1

D′ o :

n

∫ n+1

1dx ≤