DEMO Calculer-une-intégrale-par-le-calcul-de-primitives

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Calculer une intégrale par le calcul
de primitives
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = xex .
∫ 10
Calcule la valeur de −5 f (x)dx.

Etape 1 : Traduire l’énoncé de l’exercice
• Pour calculer la valeur de l’intégrale, il faut
commencer par trouver une primitive de f sur
l’intervalle [−5; 10].
• Commence par te référer aux primitives usuelles
du cours. Cette fonction ne correspond à aucune
de celles-ci au premier abord, il va donc falloir
improviser un petit peu.

Etape 2 : Chercher une piste
• C’est le moment de laisser libre cours à ton
imagination ! Une feuille de brouillon peut être très
utile pour cette étape. N’hésite pas à écrire tout ce
qui te passe par la tête.
• Par exemple, on voit qu’il y a une exponentielle. La
fonction exponentielle a pour particularité de ne
pas être modifiée quand on la dérive.
• Commençons donc par tester ce qu’il se passe :
si l’on prend simplement F (x) = f (x) = xex , ne
retomberait-on pas sur f en dérivant ?
– Pour tout x réel, F ′ (x) = 1 × ex + xex = f (x) +
ex en appliquant la formule de la dérivée d’un
produit de fonctions.

Etape 3 : Pousser la piste jusqu’au bout
On remarque qu’on ne retombe pas sur f (x), mais sur
f (x) + ex . Ce n’est pas le moment de baisser les bras, tu
n’es pas loin ! Surtout que comme on l’a dit, la fonction
exponentielle n’est pas modifiée par la dérivation !
• Retirons donc ex à F , elle sera automatiquement
retirée à sa dérivée, et on retombera sur f !
– Prenons donc F (x) = xex − ex , x ∈ R.
– Alors, pour tout x réel, F ′ (x) = ex + xex − ex =
xex = f (x) !
• Donc on a trouvé une primitive de f .

Etape 4 : Calculer l’intégrale
• Le cours nous dit que

∫ bf
a

(x)dx = [F (x)]ba = F (b) −

F (a).
• Appliquons cette formule à notre exercice :


∫ 10
−5

∫ 10

−5

∫ 10

−5

f (x)dx = [xex − ex ]10
−5 = F (10) − F (−5)
f (x)dx = 10e^10−e^10−(−5e^-5−e^-5)
f (x)dx = 9e^10+6e^-5

Etape 5 : Variante
Pour t’entraîner essaye de trouver de manière similaire
les primitives de ln x. Indice : regarde la dérivée de la
fonction f : x 7→ x ln(x)…