NOTION Propriétés

Le 20-03-2019

Les suites

Suites géométriques
Propriétés
Propriété
Expression de un en fonction de up
Soit (un ) une suite géométrique de premier terme
u0 et de raison q, alors pour tout entier naturel n et
tout entier naturel p, on a :
• un = up × q n−p
Propriété
Expression de un en fonction de u0
Pour tout n, on a :
• un = u0 × q n
Remarque
Cette propriété est importante car elle permet de
passer :
• d’une suite définie par récurrence (un+1 =
qun ) ;
• à une suite définie par une fonction explicite
(un+1 = f (n)).
Cela permet de calculer un terme sans calculer
tous ceux qui le précèdent.
Exemple
Ainsi la suite des puissances de 2 évoquée
ci-dessus devient la suite définie par un+1 = 2n
pour tout entier naturel n.
Théorème
Sens de variation d’une suite de la forme un = q n
La suite de terme général un = q n est :
• strictement croissante si q > 1 ;
• strictement décroissante si 0 < q < 1 ;
• ni croissante, ni décroissante si q < 0.
Remarque
On peut dire d’une suite qui est ni croissante ni
décroissante, qu’elle est alternée.
Propriété
Sens de variation d’une suite géométrique
Soit (un ) une suite géométrique de raison q non
nulle et de premier terme u0 non nul :
• Si q

0 et u0 > 0, alors la suite (un ) a le même
sens de variation que la suite (q n ).
• Si q > 0 et u0 < 0, alors la suite (un ) a le sens
de variation contraire de celui de la suite (q n ).

Exemple
La suite (un ) définie par un = 2n est :
• croissante ;
• u0 = 1 et q = 2.
La suite (un ) définie par un = −

( 1 )n
3

est :

• croissante ;
• u0 = −1 et q = 31 .
La suite (un ) définie par un = (−2)n est :
• alternée (q < 0).