DEMO Usage-d’une-suite-auxiliaire-dans-l’étude-d’une-suite-arithmético-géométrique

Le 20-03-2019

Les suites

Usage d’une suite auxiliaire dans
l’étude d’une suite
arithmético-géométrique
On considère la suite (an ) définie par a0 = 80 et, pour
tout entier naturel n, an+1 = 0, 9an + 20.
 
Pour tout entier naturel n, on pose : bn = an − 200.
1.

Démontre que (bn ) est une suite géométrique ;

précise sa raison et son premier terme.
2. Exprime bn en fonction de n.
3.

Déduis-en que, pour tout entier naturel n, on a :

an = 200 − 120 × 0, 9n .
4. Quelle est la limite de la suite (an ) ?

Etape 1 : Démontrer que (bn ) est géométrique
Pour tout entier naturel n :
• bn+1 = an+1 − 200 = 0, 9 an + 20 − 200
– Or an = bn + 200
• Donc bn+1 = 0, 9(bn + 200) − 180 = 0, 9bn + 180 − 180 =
0, 9bn
Donc la suite (bn ) est géométrique de raison q = 0, 9.
De plus b0 = a0 − 200 = 80 − 200 = −120, donc la suite est
de premier terme b0 = −120.

Etape 2 : Déterminer une expression simple
de bn
D’après la propriété du cours, on peut dire que pour tout
entier naturel n, bn = b0 × q n = −120 × 0, 9n .

Etape 3 : Déterminer une forme simple de an
Pour tout n, bn = −120 × 0, 9n ; or an = bn + 200.
• Donc pour tout entier naturel n, an = 200−120×0,9n .

Etape 4 : Déterminer la convergence de (bn )
et (an )
La suite (bn ) est géométrique de raison 0, 9. Or 0 < 0,9 < 1
;
• la suite (bn ) est donc convergente ;
• et a pour limite 0.
D’après les propriétés sur les limites de suites (voir
ci-dessous), comme pour tout n, an = bn + 200 :
• on peut dire que la suite (an ) est convergente ;
• et a pour limite 200.