DEMO Manipuler-un-arbre-de-probabilités

Le 20-03-2019

Les probabilités discrètes

Manipuler un arbre de probabilités
Une épidémie sévère touche la population française.
Un vaccin a été mis au point et largement distribué : 50
% de la population est vaccinée. Des tests médicaux
ont révélé les performances du vaccin :
Vacciné, on a 1 % de chances de tomber malade.
Non vacciné, les chances de rester sain sont de 25 %.
On

considèrera

que

la

population

française

est

assez grande pour pouvoir assimiler probabilités et
proportions.
1.

Quel pourcentage de la population est atteint

par l’épidémie?
2. Quelle proportion des malades est pourtant vaccinée
?

Etape

1

:

Traduire

l’énoncé

mathématiquement
On commence par introduire des évènements.
Soit M l’évènement « l’individu est malade ».
Soit V l’évènement « l’individu est vacciné ».
L’énoncé nous donne :
• p(V ) = 0, 5
• pV (M ) = 0, 01
• pV̄ (M̄ ) = 0, 25
On cherche :
• p(M )
• pM (V )

Etape 2 : Construire l’arbre de probabilités
correspondant

Etape

3

:

Exploiter

la

formule

des

probabilités totales
Comme V et V̄ forment une partition de l’univers, la
formule des probabilités totales nous donne :
• P (M ) = P (M ∩ V ) + P (M ∩ V̄ )

Etape 4 : Calculer les données manquantes
On calcule donc la première et la troisième feuille de
l’arbre en partant du haut.
On sait que la valeur d’une feuille est égale au produit
des valeurs des branches qui y mènent.
• P (M ∩ V ) = p(V ) × pV (M ) = 0, 5 × 0, 01 = 0, 005
• P (M ∩ V̄ ) = p(V̄ ) × pV̄ (M ) = 0, 5 × (1 − 0, 25) = 0, 5 ×
0, 75 = 0, 375 (la somme des valeurs des branches
d’un nœud vaut toujours 1)
On  a donc :
• P (M ) = P (M ∩ V ) + P (M ∩ V̄ ) = 0, 005 + 0, 375 = 0, 38
38 % de la population française est atteinte par
l’épidémie.

Etape 5 : Retourner l’arbre de façon à trouver
pM (V )
Attention de bien remettre les feuilles à leur place.
De même que précédemment, le calcul des feuilles
nous permet de trouver aisément la donnée recherchée.
 
• P (M ∩ V ) = p(M ) × pM (V )
• Donc pM (V ) =
• pM (V ) =

0,005
0,38

P (M ∩V )
p(M )

(on a vu que p(M ) ̸= 0).

≈ 0, 013

Donc environ 1, 3 % des malades avaient pourtant été
vaccinés.

Etape 6 : Remarques
• N’oublie pas de traduire en français les résultats
trouvés, surtout si l’énoncé les demandait comme
ici. Cela montre que tu as compris l’exercice.
• Si tu connais parfaitement tes formules, tu peux
te passer des arbres de probabilité, cependant
ceux-ci t’éviteront de faire des erreurs d’étourderie,
et surtout te permettront d’établir beaucoup plus
facilement une stratégie de résolution. Il est donc
conseillé de s’appuyer au moins sur un arbre fait
rapidement au brouillon.