Les lois à densité
Lois à densité usuelles
Loi normale N (m; σ 2 )
Définition
Loi normale N (m; σ 2 )
Soient m et σ deux réels, σ > 0.
• Une variable aléatoire X suit la loi normale
N (m; σ 2 ) si et seulement si
X−m
σ
suit la loi
N (0; 1).
Exemple
• Soit X une variable aléatoire de densité
la fonction f définie sur R par : f (x) =
(x−3)
√1 e
2
2π
2
.
• X suit en fait la loi N (3; 1).
• En effet, si on pose y =
f (x) =
2
y
√1 e 2
2π
x−3
1 ,
on obtient :
.
• Qui correspond bien à la densité de la loi
N (0; 1).
Remarque
• Globalement, les lois normales N (m; σ 2 ) sont
représentées par des « cloches » similaires
à celle de la loi centrée réduite, mais
décentrées, et plus ou moins amples.
changement de variable
X−m
σ
Le
permet de
ramener cette « cloche » à celle de la loi
centrée réduite.
Propriété
Loi
N (m; σ 2 )
et
valeurs
empiriques
approximatives
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m; σ 2 ).
On a :
• P (m − σ ≤ X ≤ m + σ) ≈ 0, 683
• P (m − 2σ ≤ X ≤ m + 2σ) ≈ 0, 954
• P (m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ) ≈ 0, 997
Exemple
Reprenons X la variable aléatoire suivant la loi
N (3; 1).
• P (3 − 2 × 1 ≤ X ≤ 3 + 2 × 1) = P (1 ≤ X ≤ 5) ≈
0, 954
X peut prendre toutes les valeurs réelles, mais a
plus de 95 % de chances d’être compris entre 1 et
5.
Espérance et variance de la loi N (m; σ 2 )
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m; σ 2 ).
• E(X) = m
• V (X) = σ 2
Remarque
• Attention !
Une erreur très répandue
consiste à oublier que la valeur indiquée
dans N (m; σ 2 ) est la variance, soit l’écart-type
σ au carré, et non directement la valeur de σ
!
• L’espérance m donne une information sur
la moyenne, soit la position du pic de la
« cloche ».
• La variance σ 2 quant à elle quantifie
l’étalement de la cloche : si elle est faible on
a un pic très fin, sinon on a une « bosse » très
large.