NOTION Loi-normale-N-msigma-2

Les lois à densité

Lois à densité usuelles
Loi normale N (m; σ 2 )
Définition
Loi normale N (m; σ 2 )
Soient m et σ deux réels, σ > 0.
• Une variable aléatoire X suit la loi normale
N (m; σ 2 ) si et seulement si

X−m
σ

suit la loi

N (0; 1).
Exemple
• Soit X une variable aléatoire de densité
la fonction f définie sur R par : f (x) =
(x−3)
√1 e
2
2π

2

.

• X suit en fait la loi N (3; 1).
• En effet, si on pose y =
          f (x) =

2

y
√1 e 2
2π

x−3
1 ,

on obtient :

.

• Qui correspond bien à la densité de la loi
N (0; 1).
Remarque
• Globalement, les lois normales N (m; σ 2 ) sont
représentées par des « cloches » similaires
à celle de la loi centrée réduite, mais
décentrées, et plus ou moins amples.
changement de variable

X−m
σ

Le

permet de

ramener cette « cloche » à celle de la loi
centrée réduite.

Propriété
Loi

N (m; σ 2 )

et

valeurs

empiriques

approximatives
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m; σ 2 ).
On a :
• P (m − σ ≤ X ≤ m + σ) ≈ 0, 683
• P (m − 2σ ≤ X ≤ m + 2σ) ≈ 0, 954
• P (m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ) ≈ 0, 997
Exemple
Reprenons X la variable aléatoire suivant la loi
N (3; 1).
• P (3 − 2 × 1 ≤ X ≤ 3 + 2 × 1) = P (1 ≤ X ≤ 5) ≈
0, 954
X peut prendre toutes les valeurs réelles, mais a
plus de 95 % de chances d’être compris entre 1 et
5.

Espérance et variance de la loi N (m; σ 2 )
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (m; σ 2 ).
• E(X) = m
• V (X) = σ 2
Remarque
• Attention !

Une erreur très répandue

consiste à oublier que la valeur indiquée
dans N (m; σ 2 ) est la variance, soit l’écart-type
σ au carré, et non directement la valeur de σ
!
• L’espérance m donne une information sur
la moyenne, soit la position du pic de la
« cloche ».
• La variance σ 2 quant à elle quantifie
l’étalement de la cloche : si elle est faible on
a un pic très fin, sinon on a une « bosse » très
large.