NOTION Généralités-sur-les-lois-à-densité

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Généralités sur les lois à densité
Définition
Densité de probabilité
Soient a et b deux réels, a < b.
On appelle densité de probabilité sur [a; b] une
fonction f
• continue sur [a; b] ;
• positive sur [a; b] ;
• telle que

∫b
a

f (t)dt = 1.

Exemple
La fonction constante f définie sur [0; 1] par f (x) =
1 est une densité de probabilité.
• Elle est bien continue et positive sur [0; 1] ;
• son intégrale entre 0 et 1 (aire sous la courbe)
vaut bien 1.

Définition
Variable aléatoire à densité
Soient a et b deux réels, a < b.
Soit f une densité de probabilité sur [a; b].
On définit alors la variable aléatoire X de densité
de probabilité f comme la variable aléatoire à
valeurs dans [a; b] suivant la loi de probabilité
continue donnée par :
• pour tous réels c et d tels que a ≤ c ≤ d ≤ b,
∫d
P (X ∈ [c, d]) = c f (t)dt.
Remarque
Graphiquement, la probabilité P (X ∈ [c, d]) est
donc égale à l’aire sous la courbe de f entre les
bornes c et d.

Exemple
Reprenons l’exemple précédent. Soit f la fonction
constante égale à 1, et X la variable aléatoire de
densité f sur [0; 1].
• Alors P (X ∈

[1

1
4, 2

] ∫1
) = 12 f (t)dt =
4

1
2

1
4

=

1
4

Remarque
Il faut bien comprendre la différence entre une
variable aléatoire discrète, qui peut prendre un
nombre fini de valeurs (par exemple, le résultat
d’un lancer de dé), et une variable aléatoire à
densité de probabilité qui peut prendre une
infinité de valeur au sein d’un certain intervalle
(par exemple, le poids d’un objet).

Propriété
Résultats

élémentaires

pour

les

lois

de

probabilités continues
Soient a et b deux réels, a < b.
Soit X une variable aléatoire ayant f pour densité
de probabilité sur [a; b].
Pour tout c ∈ [a; b], on a :
∫c
• P (X = c) = c f (t)dt = 0
Remarque
Ce résultat peut paraître étonnant : mais dans le
cas de lois de probabilités continues, comme il y a
une infinité d’issues possibles, la probabilité d’une
issue en particulier est nulle.
Exemple
Si on prend un français au hasard, la probabilité
qu’il mesure exactement 1,72 m est nulle, par
contre, la probabilité que sa taille soit comprise
dans l’intervalle [1, 719; 1, 721] est non-nulle.
Théorème
Espérance d’une loi à densité sur un intervalle
borné
Soient a et b deux réels, a < b.
Soit X une variable aléatoire ayant f pour densité
de probabilité sur [a; b].
L’espérance mathématique de X vaut :
∫b
• E(X) = a xf (x)dx
Remarque
Il faut voir cette formule comme l’équivalent, pour
les lois à densité, de la formule applicable aux
variables aléatoires discrètes :
• E(X) =

∑n
k=1

xk p(X = xk )

Exemple
Si on reprend encore l’exemple de la fonction
∫1
2
2
constant égale à 1, E(X) = 0 x × 1dx = 12 − 02 = 12