Les lois à densité
Prouver qu’une fonction est une
densité de probabilité
1
Soit f la fonction définie sur [1; e 3 ] par :
f (t) =
3
t
Prouve que f est une densité pour une loi de probabilité
1
sur [1; e 3 ].
Etape 1 : Poser clairement les hypothèses et
objectifs
1
• f est définie sur [1; e 3 ] par : f (t) = 3t .
• On veut montrer que :
1
– f est continue et positive sur [1; e 3 ] ;
∫ e 13
– 1 f (t)dt = 1.
Etape 2 : Justifier continuité et positivité
1
• f est continue sur [1; e 3 ] en tant que fonction
rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.
1
• Pour tout t ∈ [1; e 3 ], on a : t > 0, donc f (t) =
3
t
> 0.
1
• f est bien continue et positive sur [1; e 3 ].
Etape 3 : Calculer l’intégrale
• Il faut commencer par trouve une primitive de f sur
1
[1; e 3 ].
• Le cas présent n’est pas compliqué, on sait que ln
est une primitive de la fonction inverse, donc ici, on
trouve une primitive de f facilement : la fonction F
1
définie sur [1; e 3 ] par : F (t) = 3 ln t.
• On peut alors calculer l’intégrale :
–
∫ e 13
1
1
f (t)dt = [3 ln t]e1 3
1
– = 3 ln e 3 − 0 = 3 ×
1
3
=1
Etape 4 : Conclure
1
f est donc continue et positive sur [1; e 3 ], et son intégrale
sur ce même intervalle vaut 1, f est donc une densité
1
pour une loi de probabilité sur [1; e 3 ].