DEMO Prouver-qu’une-fonction-est-une-densité-de-probabilité

Les lois à densité

Prouver qu’une fonction est une
densité de probabilité
1

Soit f la fonction définie sur [1; e 3 ] par :
f (t) =

3
t

Prouve que f est une densité pour une loi de probabilité
1

sur [1; e 3 ].

Etape 1 : Poser clairement les hypothèses et
objectifs
1

• f est définie sur [1; e 3 ] par : f (t) = 3t .
• On veut montrer que :
1

– f est continue et positive sur [1; e 3 ] ;
∫ e 13
– 1 f (t)dt = 1.

Etape 2 : Justifier continuité et positivité
1

• f est continue sur [1; e 3 ] en tant que fonction
rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.
1

• Pour tout t ∈ [1; e 3 ], on a : t > 0, donc f (t) =

3
t

> 0.

1

• f est bien continue et positive sur [1; e 3 ].

Etape 3 : Calculer l’intégrale
• Il faut commencer par trouve une primitive de f sur
1

[1; e 3 ].
• Le cas présent n’est pas compliqué, on sait que ln
est une primitive de la fonction inverse, donc ici, on
trouve une primitive de f facilement : la fonction F
1

définie sur [1; e 3 ] par : F (t) = 3 ln t.
• On peut alors calculer l’intégrale :
–

∫ e 13
1

1

f (t)dt = [3 ln t]e1 3
1

– = 3 ln e 3 − 0 = 3 ×

1
3

=1

Etape 4 : Conclure
1

f est donc continue et positive sur [1; e 3 ], et son intégrale
sur ce même intervalle vaut 1, f est donc une densité
1

pour une loi de probabilité sur [1; e 3 ].