NOTION Tableau-de-variation-et-représentation-graphique-de-la-fonction-ln

Le logarithme népérien

Étude de la fonction logarithme
népérien
Tableau de variation et représentation
graphique de la fonction ln
Propriété
Tableau de variation de la fonction ln

Propriété
Représentation graphique de la fonction ln

Propriété
Convexité/concavité de la fonction ln
La fonction ln est concave sur ]0; +∞[.
Remarque
On déduit cette propriété du fait que la dérivée
de ln (qui est la fonction inverse) est décroissante
sur ]0; +∞[.
• En effet, plus x est grand, plus

1
x

est petit ;

• donc la croissance de ln est « ralentie » quand
x augmente.

Comparaison de x, ln(x) et de ex
Pour tout x ∈]0; +∞[ :
• ln(x) < x < ex
Exemple
ln(1) = 0 < 1 < e1 ≈ 2, 7
Remarque
Cela

se

voit

bien

sur

les

représentations

graphiques des trois fonctions :
• Cexp est toujours au-dessus de la droite
d’équation y = x ;
• la droite d’équation y

= x est toujours

au-dessus de Cln .
Tu remarqueras aussi que Cexp est la courbe
symétrique de Cln par rapport à la droite
d’équation y = x !