NOTION Convexité-et-dérivation

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Convexité
Convexité et dérivation
Théorème
Convexité et sens de variation de f ′
Soit f une fonction définie et dérivable sur un
intervalle I.
• f est convexe sur I si, et seulement si, sa
fonction dérivée f ′ est croissante sur I.
• f est concave sur I si, et seulement si, sa
fonction dérivée f ′ est décroissante sur I.
Définition
Dérivée seconde
Soit f une fonction définie et dérivable sur un
intervalle I.
Si la fonction dérivée, f ′ est elle aussi dérivable,
on dit que f est deux fois dérivable et on appelle
dérivée seconde, notée f ′′ , la dérivée de f ′ .
Propriété
Convexité et dérivée seconde
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable
sur un intervalle I.
• Si la dérivée seconde est positive alors la
fonction f est convexe.
• Si la dérivée seconde est négative alors la
fonction f est concave.
Exemple
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x3 − 3×2 .
• f est deux fois dérivable sur R.
• f ′ (x) = 3×2 − 6x et f ′′ (x) = 6x − 6 = 6(x − 1).
• f ′′ (x) est du signe de x − 1.
• f est concave sur ] − ∞; 1] et convexe sur
[1; +∞[.
Remarque
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable
sur un intervalle I.
On peut résumer (et même les enrichir car
il s’agit d’équivalences) les deux propriétés
précédentes grâce au tableau suivant, où les
phrases d’une même ligne sont équivalentes.
f convexe sur I
f concave sur I

f ′ croissante sur I
f ′ décroissante sur I

f ′′ positive sur I
f ′′ négative sur I