DEMO Relier-convexité-de-f-et-sens-de-variation-de-f

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Relier convexité de f et sens de
variation de f ′
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x5 − 2×4 .
Étudie la convexité de f .

Etape 1 : Calculer f ′ (x) et f ′′ (x)
f est dérivable sur R et :
• f ′ (x) = 5×4 − 8×3
• f ′′ (x) = 20×3 − 24×2

Etape 2 : Étudier le signe de f ′′ (x)
• f ′′ (x) = 20×3 − 24×2 = 4×2 (5x − 6)
• puisque x2 ≥ 0 sur R, f ′′ (x) a le même signe que
5x − 6 qui est négatif pour x
1, 2.

Etape 3 : En déduire le sens de variation de f ′
On peut alors dresser le tableau de variation de f ′ :

Etape 4 : Conclure sur la convexité de f
• Sur ] − ∞; 1, 2], f ′ est décroissante et f est donc
concave.
• Sur [1, 2; +∞[, f ′ est croissante et f est donc convexe.

Etape 5 : Vérifier graphiquement
Les conclusions précédentes se retrouvent sur Cf qui
est en-dessous de ses tangentes sur ] − ∞; 1, 2] et
au-dessus de ses tangentes sur [1, 2; +∞[ (A étant le point
d’inflexion de Cf , voir exercice ci-dessous).