DEMO Recherche-de-points-dinflexion

Dérivation,

continuité

et

convexité

Recherche de points d’inflexion
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x4 − 2×3 et Cf
sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Détermine les coordonnées du ou des points d’inflexion
de Cf s’il y en a.

Etape 1 : Calculer f ′ (x) et f ′′ (x)
• f ′ (x) = 4×3 − 6×2
• f ′′ (x) = 12×2 − 12x

Etape 2 : Déterminer quand f ′′ (x) s’annule en
changeant de signe
• f ′′ (x) = 12×2 − 12x = 12x(x − 1)
• f ′′ (x) s’annule et change de signe pour x = 0 et
x = 1.

Etape 3 : En déduire les coordonnées des
points d’inflexion
• Cf admet donc deux points d’inflexion :
– le

premier

d’abscisse

0

est

donc

de

coordonnées (0; 0) ;
– le seconde, d’abscisse 1, a pour coordonnées
(1; −1).

Etape 4 : Vérifier graphiquement
On constate qu’en effet Cf admet O et A comme
points d’inflexion. En ces points la fonction change de
convexité et la courbe traverse ses tangentes.