NOTION Intégrales-et-calcul-de-moyenne

Intégrales et primitives

Propriétés des intégrales
Intégrales et calcul de moyenne
Calcul intégral et moyenne
Soient a et b deux réels tels que a ̸= b. Soit f une
fonction continue sur [a; b].
On appelle valeur moyenne m de f sur [a; b] le
résultat suivant :
∫ bf
1
• m = b−a
(x)dx
a
Exemple
Calculons la moyenne de la fonction carrée entre
−1 et 3.
• m=

1
3−(−1)

∫3
−1

x2 dx =

1
4

×

(9
3

+

1
3

)

=

10
12

=

5
6

• La valeur moyenne de la fonction carré entre
−1 et 3 est donc 56 .
Remarque
Par abus de langage, on peut dire que chercher la
valeur moyenne de f revient à chercher la hauteur
d’un rectangle dont l’aire est égale à l’aire sous la
courbe.

Remarque
• Cela permet par exemple de calculer la
vitesse moyenne d’un véhicule dont on a
l’expression mathématique de la vitesse au
cours du temps.
• Il faut rapprocher cette formule de celle de
la moyenne de données discrètes.
En effet, quand tu veux faire la moyenne de tes
notes sur l’année, tu fais l’opération suivante :
• m=

note1 +note2 +…+noten
n

Tu divises la somme de tes notes par le nombre
de notes.
Le principe ici est le même : on « somme » toutes
les valeurs prises par f , et on divise par la longueur
de l’intervalle sur lequel on a sommé : b − a.