NOTION Définition-et-propriétés-des-primitives

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Les primitives
Définition et propriétés des primitives
Définition
Primitives d’une fonction
On appelle primitive F d’une fonction f sur un
intervalle I une fonction telle que pour tout x ∈ I
:
• F ′ (x) = f (x)
Remarque
La notion de primitive est donc « l’inverse » de la
notion de dérivée.

Exemple
F : x → x2 a pour dérivée f : x → 2x sur R.
Donc on dit que F : x → x2 est une primitive de
f : x → 2x, sur R.
Théorème
Continuité d’une fonction et primitives
Toute fonction continue sur un intervalle I admet
des primitives sur cet intervalle.
Propriété
Infinité de primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit F une primitive de f sur I.
Pour tout réel c :
• x 7→ F (x) + c est aussi une primitive de f .
• On dit que f admet « une infinité de
primitives » sur I.
Propriété
Primitive particulière prenant la valeur y0 en x0
Soit x0 et y0 deux nombres réels.
Soit f une fonction continue sur I.
• Il existe une unique primitive F0 de f telle
que F0 (x0 ) = y0 .
Remarque
On retiendra qu’une fonction n’admet jamais
une unique primitive :

il faut imposer une

condition supplémentaire pour avoir une unique
possibilité.
Exemple
Soient F , G et H trois fonctions définies sur R,
respectivement par F (x) = x2 , G(x) = x2 + 1 et
H(x) = x2 + 2.
Pour tout réel x :
• F ′ (x) = G′ (x) = H ′ (x) = 2x.
• F , G et H sont donc toutes trois des
primitives de f : x → 2x sur R.
• En revanche F est la seule primitive de f qui
vaut 0 en 0.