DEMO Utiliser-le-calcul-intégral-pour-calculer-un-indice-de-Gini

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Utiliser le calcul intégral pour
calculer un indice de Gini
On considère une fonction f définie par f (x) = ex − (e −
2)x − 1 et le segment [OA] de la droite d’équation y = x.
La courbe représentative de f est une courbe de Lorenz.
1. Justifie par le calcul que la courbe représentative de f
passe par les points O et A.
2. Calcule l’aire qui se situe entre la courbe de Lorenz et
le segment [OA].
3. Déduis-en l’indice de Gini correspondant. On prendra
e ≈ 2, 7.

Etape 1 : Représenter les deux courbes
Tu peux représenter ces deux courbes grâce à leurs
expressions mathématiques.

Etape 2 : Calculer les valeurs de f en 0 et en 1
f (0) = e0 − (e − 2) × 0 − 1 = 1 − 1 = 0
• Donc la courbe représentative de f passe par le
point O de coordonnées (0; 0).
f (1) = e1 − (e − 2) − 1 = e − e + 2 − 1 = 1
• Donc la courbe représentative de f passe par le
point A de coordonnées (0; 1).

Etape 3 : Déterminer une primitive simple de
h définie par x − f (x)
Tu cherches ici à déterminer une aire entre deux
courbes.

Tu dois donc réaliser un calcul intégral

en utilisant les expressions mathématiques des deux
fonctions associées. Puisque la droite d’équation y = x
est au-dessus de la courbe de Lorenz (par définition), tu
peux déterminer la fonction h définie par x − f (x) :
• h(x) = x − ex + (e − 2)x + 1 = −ex + (e − 1)x + 1

Etape 4 : Calculer l’intégrale de h sur [0; 1] pour
calculer l’aire entre les deux courbes
D’après le cours, si tu calcules l’intégrale entre 0 et 1 de
h, tu pourras obtenir l’aire qui se situe entre les deux
courbes. Faisons donc ce calcul !

∫1
0

h(x)dx =

∫1
0

(−ex + (e − 1)x + 1)dx

• Grâce à la relation de Chasles, tu peux écrire :

∫1
0

h(x)dx = −

∫1
0

exdx + (e − 1)

∫1
0

xdx +

∫1
0

1dx

• Or :
– une primitive de x 7→ ex est x 7→ ex , donc
∫1
− 0 exdx = −(e1 − e0 ) = −e + 1
– une primitive de x 7→ x est x 7→ 12 x2 , donc (e −
∫1
1) 0 xdx = (e − 1) × ( 12 − 0) = e−1
2 ×
∫1
– une primitive de x 7→ 1 est x 7→ x, donc 0 1dx =
1−0=1
• Donc

∫1
0

h(x)dx = −e + 1 +

e−1
2

+1=

−e+3
2 .

Etape 5 : En déduire l’indice de Gini
L’indice de Gini γ est défini par le rapport entre l’aire
calculée précédemment et l’aire du triangle OAB avec B
le point de coordonée (1; 0). L’aire du triangle OAB vaut
car c’est la moitié de l’aire du carré de côté 1. Donc
∫1
∫1
h(x)dx
γ = 0 0,5
= 2 0 h(x)dx
1
2

• γ = −e + 3 ≈ −2, 7 + 3 = 0, 30