Intégrales et primitives Propriétés des intégrales Intégrales et calcul de moyenne Calcul intégral et moyenne Soient a et b deux réels tels que a ̸= b. Soit f une fonction continue sur [a; b]. On appelle valeur moyenne m de...

Intégrales et primitives Utiliser le calcul intégral pour calculer un indice de Gini On considère une fonction f définie par f (x) = ex − (e − 2)x − 1 et le segment [OA] de la droite d’équation y =...

Intégrales et primitives Propriétés des intégrales Calcul avec des intégrales Propriété Relation de Chasles sur les intégrales Soient a, b et c trois réel et f une fonction continue sur [a; b]. ∫c ∫b ∫c • a f (x)dx =...

Intégrales et primitives Propriétés des intégrales Inégalités avec les intégrales Propriété Positivité de l’intégrale Soient f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b appartenant à I tels que a ≤ b. • Si pour tout x...

Intégrales et primitives L’intégrale comme l’aire sous la courbe Définition Le calcul intégral et l’aire sous la courbe Soient a et b deux réels, a < b. Soit f une fonction continue positive sur [a; b]. ∫a On définit l’intégrale...

Intégrales et primitives Calcul intégral et primitives Théorème Relation entre intégrales et primitives Soient a et b deux réels, f une fonction continue sur [a; b]. Soit F une primitive quelconque de f sur [a; b]. ∫a • b f...

Intégrales et primitives Calcul intégral et moyenne Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a; b]. Soit m la valeur moyenne de f sur [a; b]. m= 1 b−a ∫b...

Intégrales et primitives Les primitives Définition et propriétés des primitives Définition Primitives d’une fonction On appelle primitive F d’une fonction f sur un intervalle I une fonction telle que pour tout x ∈ I : • F ′ (x) =...

Intégrales et primitives Les primitives Calcul de Primitives Primitives usuelles En pratique, lorsqu’on cherche les primitives d’une fonction, on utilise notre connaissance des dérivées usuelles, dans l’autre sens. Dans le tableau suivant n est un entier relatif. a et b...

Intégrales et primitives Linéarité de l’intégrale Soient a et b deux réels tels que a < b. Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b]. Soient α et β deux réels. ∫b (αf (x) + βg(x))dx = a...

Intégrales et primitives Calcul intégral et conservation de l’ordre Soient a et b deux réels tels que a < b. Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b]. Si f (x) ≤ g(x), ∫a ∫a alors b f...

Intégrales et primitives Calcul intégral et relation de Chasles Soient a, b et c. Soit f une fonction continue sur [a; b]. ∫c a f (x)dx = ∫b a f (x)dx + ∫c b f (x)dx

Intégrales et primitives Primitives d’une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit F une primitive de f . Pour tout x appartenant à I : F ′ (x) = f (x)

Intégrales et primitives Primitive d’une fonction de la forme u′ eu Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit f est une fonction dont l’expression est f (x) = u′ (x)eu(x) . F (x) = eu(x) + k...

Intégrales et primitives Relation entre intégrales et primitives Soient a et b deux réels. Soit f une fonction continue sur [a; b]. Soit F une primitive quelconque de f sur [a; b]. ∫a b f (x)dx = F (b) −...

Relation de Chasles et intégrale Conditions Soit f une fonction de I Soient a, b et c trois éléments de I Relation de Chasles b c b ∫a f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx a c ©Prof en Poche...

Notation et calcul de l’intégrale Notation L’intégrale de f entre a et b est le nombre notée : b ∫ f (x) dx a Calcul L’intégrale de f entre a et b vaut : b ∫ f (x) dx =...

Comparaison d’intégrales Condition Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a;b] Propriété Si sur l’intervalle [a;b] on a : f≥g alors b b ∫ f(x) dx ≥ ∫ g(x) dx a a ©Prof en Poche – Calcul intégral –...

Aire entre deux courbes Conditions Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle [a;b], avec a ≤ b AVEC f ≥ g Calcul de l’aire L’aire du domaine délimité par les courbes Cf et Cg , et les...