3ème – CHAP 02 – PGCD – 1cours

Le 20-03-2019

PGCD
DIVISEURS et MULTIPLES
● Pour deux nombres entiers n et d non nuls :
n est divisible par d 
n est un multiple de d 
 Il existe un nombre entier q
.
 signifient 
d est un diviseur de n 
 tel que n  d  q.

d divise n

Exemple : 7 est un diviseur de 91 car 91  7  13 . De même 13 divise 91.
On peut dire également que 91 est un multiple de 13, ou encore que 91 est divisible par 7.
● 1 est diviseur de tout nombre entier a car a  a  1 .

PGCD
● Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise
chacun d’eux.
Exemple :

Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
Les diviseurs de 18 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.

Donc les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1 ; 2 ; 3 et 6.
● Le Plus Grand Diviseur Commun à plusieurs nombres est appelé le PGCD de ces nombres.
Exemple : Le PGCD de 12 et 18 est 6.

NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux.
Leur seul diviseur commun est donc 1.

MATHEMATIQUES

Chapitre 2 : PGCD – Fiche de cours – 1

METHODES POUR CALCULER LE PGCD
Pour trouver le PGCD de deux nombres, on utilise généralement l’une des 2 méthodes suivantes.

 ALGORITHME D’EUCLIDE
On a deux nombres A et B.

non

A et B
sont-ils
égaux ?

oui

Les ranger par ordre
croissant : A > B

Ce nombre est le
PGCD cherché.

Calculer leur
différence : A – B
Remplacer le plus
grand des deux par
cette différence.

 METHODE PAR DIVISIONS SUCCESSIVES
On a deux nombres.

On divise le plus grand par
le plus petit…

non

On divise le diviseur
par le reste.

MATHEMATIQUES

Le reste
vaut-il
zéro ?

oui

Le diviseur est le
PGCD cherché.

Chapitre 2 : PGCD – Fiche de cours – 2