NOTION Produit-d’un-vecteur-par-un-nombre-réel

Le 20-03-2019

Vecteurs

Vecteur dans un repère
Produit d’un vecteur par un nombre réel
Remarque
Plan rapporté à un repère (O; OI; OJ).
Propriété
Multiplication de coordonnées de vecteur par
un réel
( )
• Soit  ⃗u ab un vecteur et k un réel non nul.
( )
Alors le vecteur ⃗v k×a
k×b a :
– la même direction que ⃗u ;
– une

longueur

égale

à

|k|

×

longueurduvecteur⃗u où |k| est égal à
k s’il est positif et à −k sinon ;
– le même sens que ⃗u si k > 0 et un sens
opposé à celui de ⃗u si k < 0.

Définition
Multiplication

d’un

vecteur

par

un

réel,

notation
( )
• Soit  ⃗u ab un vecteur et k un réel.
• Alors le vecteur ⃗v

(k×a)
k×b

est appelé le produit

du réel k par ⃗u et on note ⃗u.
Exemple
⃗v = 2⃗u

Exemple
⃗v = −1, 5⃗u

Définition
Opposé d’un vecteur
• Soit ⃗u un vecteur.
• On appelle opposé du vecteur ⃗u le vecteur
−1 × ⃗u que l’on note plus simplement −⃗u.

Propriété

Opposé du vecteur AB
• Soient A et B, 2 points du plan. L’opposé du
⃗ est le vecteur BA.

vecteur AB
⃗ = BA
⃗ et −AB
⃗ + BA
⃗ = BA
⃗ −
• On retient : −AB
⃗ = ⃗0.
AB
Remarque
• k⃗u a donc les caractéristiques décrites dans
la propriété au début du paragraphe.
• Si k = 0, alors ⃗v = ⃗0.