NOTION Colinéarité-parallélisme-alignement

Le 20-03-2019

Vecteurs

Vecteur dans un repère
Colinéarité : parallélisme, alignement
Remarque
Plan rapporté à un repère (O; OI; OJ).
Définition
Vecteurs colinéaires
• Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs.
• S’il existe k ∈ R tel que ⃗v = k⃗u, on dit que ⃗u et
⃗v sont colinéaires.
Remarque
Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres
vecteurs car pour tout vecteur  ⃗u, on a ⃗0 = 0 × ⃗u.
Propriété
Alignement, parallélisme
• Soient A, B, C et D, 4 points du plan.

• A, B et C sont alignés si et seulement si AB
⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe
et AC
⃗ = k × AB
⃗ ou que les
k ∈ IR tel que AC
2 vecteurs ont la même direction.
• (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement
⃗ et CD
⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il
si AB
⃗ = k × CD
⃗ ou que les
existe k ∈ IR tel que AB
2 vecteurs ont la même direction.
Exemple
Soient A(−3 ; 2), B(1 ; 3), C(4 ; 2) et D(−4 ; 0) :

• On a AB
(−8)

CD
−2 .

(1−(−3))
3−2


soit AB

(4)
1


et CD

(−4−4)
0−2

donc

⃗ = −2AB
⃗ ce qui signifie
• On en déduit que CD
⃗ et CD
⃗ sont colinéaires.
que les vecteurs AB
• Conclusion : les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.