DEMO Coordonnées-du-vecteur-de-la-composée-de-2-translations

Le 20-03-2019

Vecteurs

Coordonnées du vecteur de la
composée de 2 translations
Théorème
( )
( ′)
Soient ⃗u ab et ⃗v ab′ , 2 vecteurs.
La composée de la translation de vecteur ⃗u, notée t⃗u , et
de la translation de vecteur ⃗v , notée t⃗v , est la translation
( ′)
de vecteur w
⃗ a+a
b+b′ .
Démonstration
Pour tout point M (xM ; yM ) du plan t⃗u :
Étape 1 : Image de M par M ′
• On considère M ′ (xM ′ ;

yM ′ ) son image par la

translation t⃗u .
• On a alors : M⃗M ′ = ⃗u.
• L’égalité des vecteurs implique celle de leurs
coordonnées donc xM ′ − xM = a et yM ′ − yM = b.
• Donc xM ′ = a + xM et yM ′ = b + yM .
• On en déduit M ′ (a + yM ; b + yM ).
Étape 2 :
On considère M ′′ (xM ′′ ;

yM ′′ ) l’image de M ′ par la

translation t⃗v .
• Alors : M ′⃗M ′′ = ⃗v .
• Comme précédemment, on a : xM ′′ = a′ + xM ′ et
yM ′′ = b′ + yM ′ .
• Soit : M ′′ (a′ + xM ′ ; b′ + yM ′ ).
• Ou encore, en combinant les 2 étapes : M ′′ (a + a′ +
xM ; b + b′ + yM )
Étape 3 :
( ′)
• On déduit du dernier point : M ⃗M ” a+a
b+b′
• Définissons un nouveau vecteur w

(a+a′ )
b+b′

• Conclusion : la composée de la translation de
vecteur ⃗u et de la translation de vecteur ⃗v  est la
( ′)
translation de vecteur w
⃗ a+a
b+b′ .