2° – CHAP 09 – VECTEURS – 1cours

Le 20-03-2019

VECTEURS : GENERALITES
DEFINITIONS
 2 vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur.
 Si 2 points A et B sont confondus, on dit que le vecteur AB est le vecteur nul noté : AB  0 .
 On appelle norme du vecteur AB la longueur du segment [AB] : on la note : || AB ||.

ADDITION
 Relation de Chasles : AB + BC = AC .
 Quels que soient les vecteurs u et v , on a : u + v = v + u .
 Règle du parallélogramme :
ABCD est un parallélogramme
 AB = DC (ou AD = BC …)
 AB + AD = AC

SOUSTRACTION
L’opposé du vecteur AB est le vecteur BA :  AB = BA .
u  v = u + ( v ).

Ils ont même direction, même norme mais sont de sens opposé :

MULTIPLICATIION PAR UN REEL





Si k > 0, alors k u a même sens et même direction que u .
Si k < 0, alors k u a même direction que u mais est de sens opposé.
k (u +v ) = k u + k v .
k ( k’ u ) = kk’ u .
(k + k’) u = k u + k’ u .
k u = 0  k = 0 ou u = 0 .

CENTRE DE GRAVITE
G centre de gravité du triangle ABC  GA  GB  GC  0 .

MILIEU
I milieu du segment [AB]  IA  IB  0

MATHEMATIQUES

(on a aussi AI  IB ).

CHAPITRE 9 : VECTEURS – Fiche de cours – 1

VECTEURS : COLINEARITE
DEFINITION
On dit que deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction.
EXEMPLE : Tous ces vecteurs sont colinéaires :
il est à noter qu’ils n’ont pas forcément la même norme ou le même sens.

THEOREME
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel k tel que v = k u .

PARALLELISME
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

ALIGNEMENT
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires
(ou AB et BC colinéaires, ou encore AC et BC colinéaires).

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 9 : VECTEURS – Fiche de cours – 2

VECTEURS : REPERAGE
DEFINITIONS
 On appelle repère du plan tout triplet (O ; i ; j ) constitué d’un point O et de deux vecteurs
i et j non colinéaires. L’axe (O ; i ) est l’axe des abscisses et l’axe (O ; j ) est l’axe des
ordonnées.
 Dire que le point M a pour coordonnées le couple de réels (x ; y) dans le repère (O ; i ; j )

signifie que OM = x i + y j , x est l’ abscisse de M et y est l’ordonnée de M dans ce repère.
 Dire que le vecteur u a pour coordonnées le couple de réels (x ; y) signifie que u = x i + y j .

THEOREME
Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ).
Deux points sont confondus si et seulement si leurs couples de coordonnées sont égaux.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs couples de coordonnées sont égaux.

REGLES DE CALCULS
Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ).
Pour tous vecteurs u (x ; y) et u ' (x’ ; y’), et tout nombre réel k :
(1) le vecteur u + v a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’)
(2)

le vecteur k u a pour coordonnées (kx ; ky)

THEOREME
Pour tous points A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) :
(1)

 x  xB y A  y B 
le milieu I du segment a pour coordonnées  A
;

2
 2

(2)

le vecteur AB a pour coordonnées ( x B  x A ; y B  y A )

NORME
Dans un repère orthonormé (|| i || = || j || = 1) :
AB = || AB || =

( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 .

CRITERE DE COLINEARITE
Deux vecteurs u (x ; y) et u ' (x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si : xy’  x’y = 0.

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 9 : VECTEURS – Fiche de cours – 3