2° – CHAP 07 – SYSTEMES – 1cours

Le 20-03-2019

SYSTEMES
CARACTERISATION ANALYTIQUE D’UNE DROITE
 Théorème
Dans le plan muni d’un repère, toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées est caractérisée par
une relation de la forme y = ax + b , où a et b sont deux nombres réels constants. Cette droite est la
représentation graphique d’une fonction affine.
On dit que y = ax + b est l’équation réduite de la droite d.

 Définitions
Le plan est muni d’un repère. Soient A( x A ; y A ) et B( x B ; y B ) deux points quelconques d’une droite d
non parallèle à l’axe des ordonnées.
y  yA
●a= B
est appelé le coefficient directeur de la droite d
xB  x A
● l’ordonnée b du point d’intersection de la droite d avec l’axe des ordonnées est appelé l’ordonnée
à l’origine de la droite d
● tout vecteur u non nul et colinéaire au vecteur AB est appelé vecteur directeur de d
(par exemple le vecteur u (1 ;a)).

 Parallélisme
Le plan est muni d’un repère.
Soient 2 droites d’équations respectives y = ax + b et y = a’x + b’.
Les droites d et d’ sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
Autrement dit : d // d’  a = a’.

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES A DEUX INCONNUES
Dans le plan muni d’un repère, l’ensemble des points M(x ;y) tels que
ax + by = c (a ≠ 0 et b ≠ 0 ) est une droite d.
On dit que ax + by = c est une équation cartésienne de la droite d.

 Définition
Un système (S) de 2 équations à 2 inconnues est un système de la forme :
ax  by  c
(S)
où a ≠ 0 et b ≠ 0 d’une part, a’ ≠ 0 et b’ ≠ 0 d’autre part.

a ‘ x  b ‘ y  c ‘
Résoudre un tel système signifie trouver tous les couples de réels (x ;y) solutions de
chacune des 2 équations simultanément.
Cela revient à déterminer les coordonnées des éventuels points communs aux 2 droites d et d’
d’équations respectives ax + by = c et a’x + b’y = c’ dans un repère du plan.

 Théorème
Les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
(1) Le système (S) a un seul couple de solutions.
(2) Les droites d et d’ sont sécantes.
(3) ab’ ≠ a’b (ou ab’ − a’b ≠ 0).
Remarque : si ab’ = a’b, cela signifie que les droites d et d’ sont parallèles ou confondues.
Il en découle qu’il y a :
● aucune solution si les droites sont parallèles
● une infinité de solutions si les droites sont confondues.
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 7 : SYSTEMES – Fiche de cours – 1