DEMO Montrer-que-deux-droites-du-plan-sont-sécantes-et-déterminer-les-coordonnées-de-leur-point-d’intersection

Le 20-03-2019

Équations de droites

Montrer que deux droites du plan
sont sécantes et déterminer les
coordonnées de leur point
d’intersection
Soit (O; I; J) un repère du plan.
Soit les points A(0; 2) ; B(4; 8) ; C(2; 4) et D(−4; −5).
Montrer que les droites (AD) et (CB) sont sécantes.

Etape 1 :

Déterminer les coefficients

directeurs des droites (AD) et (CB)
• Je calcule m(AD) =
−4
−2

−5−2
−4−0

=

−7
−4

=

7
4

et m(CB) =

4−8
2−4

=

= 2.

• Ces deux coefficients sont différents.
• J’en déduis que les droites (AD) et (CB) sont
sécantes.
• Leur

intersection

est

un

point

unique,

les

coordonnées vérifient un système linéaire de
deux équations à deux inconnues.

Etape 2 : Déterminer l’équation réduite des
droites (AD) et (CB)
• Grâce aux calculs précédents, je sais que :
– (AD) : y = 74 x + p et (BC) : y = 2x + p′ où p et p
sont des réels.
– Les coordonnées de A vérifient l’équation
réduite de (AD) et ceux de B vérifient
l’équation réduite de (BC).
• J’ai : 2 = 0 ×
y=

7
4x

7
4

+ p = p donc je peux écrire (AD) :

+ 2.

• De même, j’ai 8 = 2 × 4 + p′ , donc p′ = 0.
• Je peux donc écrire (BC) : y = 2x + 0 = 2x et
construire un système de deux équations à deux
inconnues :







7
4x







+2=y

2x = y

Etape 3 :

Résoudre le système linéaire

de deux équations à deux inconnues par
substitution
J’obtiens
par substitution le système







 7 x + 2 = 2x
4







2x = y

De ce fait







 7 x − 2x = −2
4







2x = y

Donc







 −1 x = −2
4







2x = y

Je remplace au final x par 8 dans la deuxième équation
afin d’obtenir y = 16.

Etape 4 : Conclure
Les droites (AD) et (BC) sont sécantes et leur point
d’intersection a pour coordonnées (8; 16).