DEMO Équation-réduite-d’une-droite-parallèle-à-l’axe-des-ordonnées-ROC

Le 20-03-2019

Équations de droites

Équation réduite d’une droite
parallèle à l’axe des ordonnées (ROC)
Proposition
• Toute droite du plan parallèle à l’axe des ordonnées
et passant par le point A(a; 0) dans un repère
(O; I; J) du plan a pour équation réduite x = a.

Démonstration
Étape 1 : Poser le principe de la démonstration  
• Soit (O; I; J) un repère du plan.
• Soit A et B deux points distincts du plan
appartenant à la droite parallèle à l’axe des
ordonnées passant par A(a; 0).
• Ces deux points ont la même abscisse a.
• Soit C(x; y), un point de la droite (AB).

Étape 2 :  Utiliser la colinéarité de deux vecteurs du plan
• Les trois points A, B et C appartiennent à la même

droite donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

• De ce fait, il existe un réel k non nul tel que AC= k

AB .

• On a AC (x − a; y − 0) et AB (a − a; yB − 0).
• On en déduit d’après le critère de colinéarité de
deux vecteurs que :
– (x − a)(yB − 0) − (y − 0)(a − a) = 0 ;
– donc (x − a)(yB ) − (y)(0) = 0 ;
– de ce fait (x − a)(yB ) = 0.
• Ce produit de facteurs est nul si et seulement si (x−
a) = 0 ou yB = 0, or A et B sont deux points distincts,
donc yB ̸= 0.

Étape 3 : Conclure la démonstration
 
• En conclusion, l’équation réduite de la droite (AB)
parallèle à l’axe des ordonnées est : x = a.