DEMO Équation-réduite-d’une-droite-non-parallèle-à-l’axe-des-ordonnées-ROC

Le 20-03-2019

Équations de droites

Équation réduite d’une droite non
parallèle à l’axe des ordonnées (ROC)
Proposition
• Toute droite du plan non parallèle à l’axe des
ordonnées dans un repère (O; I; J) du plan a pour
équation réduite y = mx = p où m et p sont des
réels.

Démonstration
Étape 1 : Poser le principe de la démonstration  
• Soit (O; I; J) un repère du plan.
• Soit A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) deux points distincts du
plan appartenant à une droite non parallèle à l’axe
des ordonnées.
• Soit C(x; y), un point de la droite (AB).

Étape 2 : Utiliser la colinéarité de deux vecteurs
• Les trois points A, B et C appartiennent à la même

droite donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

• De ce fait, il existe un réel k non nul tel que AC=

k AB.
• On a (x − xA ; y − yA ) et (xB − xA ; yB − yA ).
• On en déduit d’après le critère de colinéarité de
deux vecteurs que :
– (x − xA )(yB − yA ) − (y − yA )(xB − xA ) = 0.
– donc on obtient en utilisant la double
distributivité,  x(yB − yA ) − y(xB − xA )

=

xA (yB − yA ) − yA (xB − xA ).
• De plus, comme A et B sont deux points distincts,
on a : xA ̸= xB .
• De ce fait, on peut diviser chacun des membres de
−yA
l’équation par (xB − xA ) et obtenir : x( xyB
)−y =
B −xA
d
xB −xA

où d = xA (yB − yA ) − yB (xB − xA ).

• On pose alors m =

yB −yA
xB −xA

et p =

−d
xB −xA ,

afin

d’obtenir l’équation réduite y = mx + p.

Étape 3 : Conclure la démonstration
 
• En conclusion, l’équation de la droite (AB) non
parallèle à l’axe des ordonnées est : y = mx + p.