DEMO Factorisation-d’un-polynôme-du-troisième-degré-sous-forme-d’un-produit-de-polynôme-du-premier-degré-tableau-de-signe-résolution-d’équations

Le 20-03-2019

Expressions algébriques

Factorisation d’un polynôme du
troisième degré sous forme d’un
produit de polynôme du premier
degré (tableau de signe ; résolution
d’équations)
Vérifier que pour tout x réel que :
x3 − 2x − 1 = (x2 − x − 1)(x + 1)
x2 − x − 1 = (x − 12 )2 −

5
4

Etape 1 : Développer (x2 − x − 1)(x + 1)
• Tu utilises la double distributivité.
• Tu obtiens (x^2−x − 1)(x + 1) = x^3+x^2−x^2−x −
x − 1.

Etape 2 : Réduire l’expression
• Tu obtiens x^3+x^2−x^2−x − x − 1 = x^3−2x − 1.
• En conclusion, l’égalité x3 −2x−1 = (x2 −x−1)(x+1)
est vraie pour tout x réel.

Etape 3 : Développer (x − 21 )2 −

5
4

• Tu utilises l’identité remarquable (a − b)^2=
a^2−2ab + b^2
.T uobtiens
(x – 1 2)2 − 5 =x2 −x+ 1 − 5
4

4

4

Etape 4 : Réduire l’expression
• Tu obtiens x2 − x +

1
4

5
4

= x2 − x − 1.

• En conclusion, l’égalité x2 − x − 1 = (x − 21 )2 −

5
4

est

vraie pour tout x réel.

Etape 5 : Factoriser (x − 21 )2 −

5
4

• Tu utilises l’identité remarquable a2 −b2 = (a−b)(a+
b).
• Tu obtiens (x − 12 )2 −

5
4

= (x −

1
2

5
2 )(x

1
2

+


5
2 ).

Etape 6 : Réduire l’expression
Tu obtiens (x − 12 −


5
1
2 )(x − 2

+


5
2 )

= (x − 1+2 5 )(x − 1−2 5 ).

Etape 7 : Bilan

Le polynôme x3 −2x−1 = (x+1)(x− 1+2 5 )(x− 1−2 5 ) pour
tout x réel.