DEMO Calculs-de-longueurs-aires-et-volume-dans-un-cube

Le 20-03-2019

Géométrie dans l’espace

Calculs de longueurs, aires et volume
dans un cube
Dans le cube ABCDEF GH de côté 10cm, on construit
l’octaèdre IJKLM N en joignant les centres des 6 faces
du cube.
Calculer le volume V de l’octaèdre.

Etape 1 : Calcul de JM
• Vu de dessus, le triangle AJM est isocèle rectangle
en A et AJ = AM = 5 cm.

• D’après le théorème de Pythagore, JM = 5 2 cm.

Etape 2 : Aire du carré JKLM

• L’aire A du carré JKLM est donc A = (5 2)2 =
50 cm2 .

Etape 3 :

Calcul de la hauteur h de la

pyramide IJKLM
• Soit T le projeté orthogonal de I sur le plan (JKL).
• La hauteur h = IT mesure la moitié de l’arête du
cube.
• Donc h = 5 cm.

Etape 4 : Calcul du volume de la pyramide
IJKLM
• Soit V1 le volume de la pyramide IJKLM .
• On a : V1 =
• Donc V1 =

1
3

× A × h.

250
3
3 cm .

Etape 5 : Calcul du volume de l’octaèdre
• On en conclut que le volume V de l’octaèdre est le
double de V1 .
• Soit V = 2V1 =

500
3

cm3 .