2° – CHAP 13 – GEOMETRIE dans l’ESPACE – 1cours

Le 20-03-2019

GEOMETRIE DANS L’ESPACE
PERSPECTIVE CAVALIERE
Les segments cachés sont représentés en pointillés ; les segments visibles sont représentés quant à
eux en traits pleins.
Le milieu d’un segment est placé au milieu du segment dessiné.
Les figures représentées de face sont représentées en vraie grandeur.

POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE PLANS DE L’ESPACE
 Règles de base

 Dans l’espace, deux points distincts A et B définissent une unique droite notée (AB).
Trois points distincts A, B et C non alignés définissent un unique plan noté (ABC).
 Si 2 points A et B appartiennent à un même plan , alors tous les points de la droite (AB)
appartiennent à  (on dit que (AB) est contenue ou incluse dans ).

 Positions relatives de 2 plans de l’espace
Plans parallèles
P

Plans sécants
P’

P
P’
confondus

P’
Aucun point commun :
P  P’= 

Tous les points communs :
P  P’= P = P’

P
d
Une droite en commun :
P  P’ = d

 Positions relatives d’une droite et d’un plan
Droite et plan parallèles
P

Plans sécants
P

P
d

d
Aucun point commun :
P  d= 

Tous les points de d en
commun 😛  d= d

A

d

Un point en commun :
P  d = {A}

 Positions relatives de 2 droites
On dit que 2 droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles sont incluses dans un même plan
Droites coplanaires
Droites non coplanaires
P
A
Sécantes :un point commun :
d  d’= {A}
MATHEMATIQUES

Parallèles : aucun point
commun : d  d’= 

Aucun point commun :
d  d’= 

CHAPITRE 13 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE – Fiche de cours – 1

PARALLELISME DANS L’ESPACE
 Théorème
Si 2 droites sécantes d’un plan P1 sont respectivement parallèles à 2 droites sécantes d’un plan P2 ,
alors les plans P1 et P2 sont parallèles.

 Théorèmes

 Si deux plans sont parallèles, alors toute droite incluse dans l’un des plans est parallèle à
l’autre plan.
 Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui contient l’une des droites est parallèle à
l’autre droite.
 Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites
d’intersection sont parallèles.
 Si deux droites parallèles d et d’ sont incluses respectivement dans deux plans P1 et P2
sécants selon une droite , alors la droite  est parallèle aux droites d et d’.

ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE
 Rappel
Si deux droites de l’espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à
l’autre.

 Définition
On dit qu’une droite d est orthogonale à un plan P lorsqu’elle est orthogonale à n’importe quelle
droite incluse dans le plan P.

 Théorème
Une droite d est orthogonale à un plan P si et seulement si la droite d est orthogonale à deux droites
sécantes de P.

 Théorèmes

 Si une droite d est orthogonale en A à un plan P, alors la droite d est perpendiculaire à toutes les
droites de P passant par A.
 Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une des deux droites est orthogonal à
l’autre droite.
 Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors ces deux droites sont parallèles.
 Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ces deux plans sont parallèles.
 Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un des plans est orthogonale à
l’autre plan.

MATHEMATIQUES

CHAPITRE 13 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE – Fiche de cours – 2