DEMO Utiliser-les-variations-d’une-fonction-carré

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Utiliser les variations d’une fonction
carré
En utilisant les variations de la fonction f (x) = −x2 + 5
sur R, déterminer un encadrement de f sur [2; 6].

Etape 1 : Déterminer les coefficients de la
fonction carré
Dans l’expression de f (x) = −x2 + 5 de la forme f (x) =
ax2 + bx + c, nous avons : a = −1 ; b = 0 et c = 5.

Etape 2 :
du

point

Déterminer les coordonnées
S,

sommet

de

la

parabole

représentative de la fonction f
• Le sommet S de la parabole a pour coordonnées
(x0 ; f (x0 )) où x0 =

−b
2a .

• Tu obtiens ici x0 =

0
−2 .

De ce fait, x0 = 0.

• Tu en déduis que f (x0 ) = f (0) = −02 + 5 = 5.
• Tu as donc un extremum égal à 5 obtenu en 0.

Etape 3 : Déterminer les variations de la
fonction f sur R
La fonction f ayant un coefficient a = −1, négatif, tu en
déduis que la fonction f est croissante sur ] − ∞; 0] et
décroissante sur [0; +∞[.

Etape 4 : Déterminer le tableau de variations
de f sur R
Grâce aux variations de f sur R, tu en déduis le tableau
de variations de f sur R.

Etape 5 : Déterminer les variations de f sur
[2; 6] En utilisant le tableau de variations de f sur R, tu
remarques que la fonction f est décroissante sur [2; 6],
de ce fait pour tout x ∈ [2; 6], tu as f (6) ≤ f (x) ≤ f (2).

Etape 6 : Déterminer les images de 2 et de 6
par f
Tu as f (2) = −22 + 5 = −4 + 5 = 1 et f (6) = −62 + 5 =
−36 + 5 = −31.

Etape 7 : En déduire l’encadrement de f sur
[2; 6] En conclusion, tu as : −31 ≤ f (x) ≤ 1.