DEMO Sens-de-variation-d’une-fonction-inverse

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Sens de variation d’une fonction
inverse
Proposition
Le sens de variation d’une fonction inverse dépend
du signe de a.
Démonstration 
• On considère f (x) = xa , une fonction inverse définie
pour tout réel x non nul et a un réel positif.
• On prend deux réels distincts tels que x1 < x2 .
– On a f (x1 ) − f (x2 ) =

a
x1

– De ce fait, f (x1 ) − f (x2 ) =

a
x2 .
a(x2 −x1 )
x1 x2 .

• On sait que x1 0.
• De ce fait, f (x1 )−f (x2 ) > 0 sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
• Or, comme la fonction f ne conserve pas le sens,
elle est décroissante pour tout x appartenant à ] −
∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Réciproquement

• Si a < 0, f (x1 ) − f (x2 ) < 0, alors f est croissante sur
] − ∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
• De ce fait, le sens de variation de f dépend du signe
de a.