DEMO Sens-de-variation-d’une-fonction-carré

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Sens de variation d’une fonction
carré
Proposition
Le sens de variation d’une fonction carré dépend
du signe de a.
Démonstration  
• On considère f (x) = ax2 , une fonction carré et a un
réel strictement positif.
– On sait que f (x1 ) − f (x2 ) = ax21 − ax22 .
– On a alors f (x1 ) − f (x2 ) = a[x21 − x22 ].
– De ce fait, f (x1 ) − f (x2 ) = a(x1 − x2 )(x1 + x2 ).
• On prend deux réels distincts tels que x1 < x2 .
– On sait que x1 < x2 , donc x1 − x2 < 0.
– Or, si a est positif a(x1 − x2 ) < 0 alors le signe de
f (x1 ) − f (x2 ) dépend du signe de (x1 + x2 ).
• On suppose que x1 et x2 appartiennent à ] − ∞ ; 0] alors x1 + x2 0.
• On en déduit alors que f est décroissante sur ] −
∞ ; 0].
• On suppose que x1 et x2 appartiennent à [0 ; +∞] alors x1 + x2 > 0 et de ce fait  f (x1 ) − f (x2 ) < 0.
• On en déduit alors que f est croissante sur [0 ; +∞].

Réciproquement

• Si a < 0, alors la fonction f est croissante sur ]−∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞].
• De ce fait, le sens de variation de f dépend du signe
de a.