DEMO Utiliser-une-fonction-trinôme-du-second-degré-pour-résoudre-des-équations-du-second-degré

Le 20-03-2019

Équations-Inéquations

Utiliser une fonction trinôme du
second degré pour résoudre des
équations du second degré
Soit f une fonction définie sur R par f (x) = x2 + 2x − 8.

Etape 1 : Vérifier que f (x) = (x + 1)2 − 9
• Pour vérifier cette égalité, tu peux partir de
la donnée de l’exercice et utiliser les identités
remarquables.
• Tu obtiens f (x) = x2 + 2x + 1 − 9 = x2 + 2x − 8. Tu as
donc vérifié l’égalité.

Etape 2 : Résoudre algébriquement f (x) = −5
• Pour résoudre algébriquement une équation, il
faut choisir la bonne expression de la fonction f .
• Ici tu peux prendre f (x) = (x + 1)2 − 9.
• Tu obtiens (x + 1)2 − 9 = −5. Tu as donc l’équation
(x + 1)2 − 4 = 0.
• Tu as donc une différence de deux carrés que tu
peux factoriser. Tu obtiens alors (x+1−2)(x+1+2) =
0.
• Tu as alors une équation produit (x − 1)(x + 3) = 0.
Cette équation admet deux solutions x = 1 et x =
−3.
• Les solutions de cette équation sont donc : −3 et 1.

Etape 3 : Résoudre graphiquement f (x) = −8
• Pour résoudre graphiquement une équation, il faut
tout d’abord construire la courbe représentative de
la fonction f dans un repère adéquat. Sur ce même
repère, construire la droite (d) d’équation y =
−8. Puis déterminer s’ils existent, les abscisses des
points d’intersection entre la droite et la courbe.
• La fonction f étant une fonction du second degré,
elle est représentée par une parabole.

Tu dois

déterminer les coordonnées de son sommet S.
• Tu trouves grâce à l’expression f (x) = (x + 1)2 − 9
que S(−1; −9).
• De ce fait, tu sais que la fonction f est décroissante
sur ] − ∞; −1] et croissante sur [−1; +∞[.
• De plus, tu peux factoriser l’expression de f est
obtenir f (x) = (x − 2)(x + 4). Tu sais, alors que la
parabole coupe l’axe des abscisses en x = −4 et en
x = 2.
• À l’aide d’une calculatrice, tu peux construire
un tableau de valeurs, pour construire la courbe
représentative de f .

Etape 4 : Construire la parabole
Tu construis alors la parabole et (d) dans un repère
adéquat.

Etape 5 : Conclusion
• Grâce à cette représentation graphique, tu peux
trouver les points d’intersection entre la parabole
et (d), s’ils existent.
• Tu peux noter A et B ces deux points d’intersection.
• Tu projettes orthogonalement ces deux points sur
l’axe des abscisses.
• Tu obtiens alors les solutions de l’équation. Ici, tu
trouves x = −2 et x = 0.