NOTION Les-angles-orientés

Le 20-03-2019

Trigonométrie

Les angles
Les angles orientés
Remarque
La trigonométrie vient du grec (trigonos =
triangulaire, metron = mesure) ; c’est la branche
des mathématiques qui étudie les relations entre
les angles et les distances.
Cette discipline est ancienne, elle remonte à
l’Egypte antique. Elle a une grande importance
un astronome du IIe siècle,

en astronomie :

Ptolémée, parvint grâce à elle à déterminer une
bonne approximation de la circonférence de la
Terre.
Elle est aussi très utile en navigation et en
géolocalistaion, car elle est à la base du concept
de triangulation.
Enfin, elle a de vastes applications en physique,
car elle permet de décomposer des ondes en
composantes plus simples, s’exprimant à l’aide
de fonctions trigonométriques : c’est l’analyse de
Fourier.
Définition
Angle orienté
Un angle orienté (⃗u; ⃗v ) est une mesure de l’angle :
• entre deux vecteurs non nuls ⃗u et ⃗v ;
• allant de ⃗u à ⃗v dans le sens direct.

Exemple
On considère le triangle ABC rectangle en A
comme représenté ci-dessus. On a :
⃗ AB)

• (AC,
est

π
2,

=

rectangle

mesure

car

en

obtenue

A

en

le
et

allant

triangle
c’est

de

la


AC

à


ABdanslesensdirect.OnditalorsqueABCestletriangle
⃗ AC)
⃗ =
• (AB,


2

⃗ à AC
⃗ dans
car pour aller de AB

le sens direct il faut parcourir l’angle obtus
ˇ qui vérifie ABC
ˇ + ABC
ˆ = 360◦ .
ABC

Remarque
Un angle orienté (⃗u; ⃗v ) possède une infinité de
valeurs : on peut rajouter autant de tours que l’on
veut en allant de ⃗u à ⃗v , ce qui revient à ajouter 2π
radians à l’angle pour chaque tour.
Ainsi si θ est une mesure en radians de l’angle
(⃗u; ⃗v ), les mesures possibles de l’angle sont : θ+2kπ
rad pour k ∈ Z.
On définit alors la mesure principale de (⃗u; ⃗v ).
Définition
Mesure principale
La mesure principale de (⃗u; ⃗v ) est l’unique mesure
en radian de l’angle appartenant à ] − π; π].
Exemple
⃗ AB)
⃗ =
• La mesure principale de l’angle (AC;

2

calculé précédemment est − π2 , car

− π2

+ 2π.et

− π2


2

∈] − π; π]

• La mesure principale de l’angle (⃗u; ⃗v )
13π
4

rad est

=

− 3π
4

car

− 3π
4

∈] − π; π] et

13π
4

=
=

− 3π
4 + 4π.
Définition
Angle défini modulo 2π
Deux mesures θ et θ′ d’un angle (⃗u; ⃗v ) sont dites
égales modulo 2π si il existe un entier k tel que
θ′ − θ = 2kπ. On note alors θ′ = θ[2π].
Exemple
Dans l’exemple précédent, on a donc vu que


2

=

− π2 [2π].
Propriété
Relation de Chasles
Si ⃗u, ⃗v et w
⃗ sont des vecteurs non nuls, on a la
relation :
• (⃗u; ⃗v ) + (⃗v , w)
⃗ = (⃗u; w)[2π] ⃗
Propriété
Relations sur les angles orientés
De la relation de Chasles, on déduit que pour ⃗u et
⃗v non nuls :
• (⃗v ; ⃗u) = −(⃗u; ⃗v )[2π] • (−⃗u; −⃗v ) = (⃗u; ⃗v )[2π] • (⃗u; −⃗v ) = (⃗u; ⃗v ) + π[2π] • (−⃗u; ⃗v ) = (⃗u; ⃗v ) + π[2π] Exemple
Dans le repère (O;⃗i; ⃗j) orthonormé du plan, soit ⃗u
un vecteur tel que (i; ⃗u) =

π
3.

Calculons (⃗j; ⃗u).

• D’après la relation de Chasles, (⃗i; ⃗u) + (⃗u; ⃗j) =
(⃗i; ⃗j). Or (⃗i, ⃗j) =
• Donc (⃗u; ⃗j) =

π
2

π
2 [2π]

et (⃗i, ⃗u) =

− π3 [2π] =

π
3 [2π].

π
6 [2π].

• Enfin d’après les formules précédentes,
(⃗j; ⃗u) = −(⃗u; ⃗j)[2π] = − π6 [2π].