NOTION La-mesure-en-radians

Le 20-03-2019

Trigonométrie

Les angles
La mesure en radians
Remarque
La trigonométrie vient du grec (trigonos =
triangulaire, metron = mesure) ; c’est la branche
des mathématiques qui étudie les relations entre
les angles et les distances.
Cette discipline est ancienne, elle remonte à
l’Egypte antique. Elle a une grande importance
en astronomie :

un astronome du IIe siècle,

Ptolémée, parvint grâce à elle à déterminer une
bonne approximation de la circonférence de la
Terre.
Elle est aussi très utile en navigation et en
géolocalistaion, car elle est à la base du concept
de triangulation.
Enfin, elle a de vastes applications en physique,
car elle permet de décomposer des ondes en
composantes plus simples, s’exprimant à l’aide
de fonctions trigonométriques : c’est l’analyse de
Fourier.
Rappel
On rappelle que les réels peuvent être positionnés
le long de la droite réelle.
• Imaginons alors que l’on puisse déplacer
cette droite à la manière d’une corde dans
un plan muni d’un repère.
• On décide ainsi de l’enrouler autour du
cercle C de centre O et de rayon 1 dans le
sens des aiguilles d’une montre, en accolant
d’abord l’origine de la droite réelle avec le
point de coordonnées (1; 0).
• Cette opération permet de placer les
nombres réels sur le cercle C : un réel est
associé au point du cercle qui touche la
corde au point associé à ce réel.

Définition
Radian
Le radian est une unité de mesure des angles.
ˆ
• La mesure en radian d’un angle AOB
correspond à la longueur d’arc du cercle de
centre O et de rayon 1 qui est délimitée par
l’angle.
• On note cette unité rad.

Propriété
Conversion radians/degrés
Comme un angle plat correspond à une moitié de
cercle :
• π rad = 180◦
Et donc pour un angle θ quelconque exprimé en
radian, sa valeur α en degrés est :
• α=

180×θ
π

Réciproquement, pour un angle a exprimé en
degré, sa mesure θ en radian est :
• θ=

π×a
180

rad

Exemple
Quelques angles importants sont à avoir en tête :
Degré

Radian

0

Portion de cercle associée

 

30°
π
6
douzième

45°
π
4
huitième

60°
π
3
sixième

90°
π
2
quart

180°
π

360°

moitié

cercle
entier

de

de

de

de

de

cercle

cercle

cercle

cercle

cercle

Propriété
Longueur d’un arc de cercle
La longueur d’un arc de cercle de rayon R et
compris dans un angle de θ radians est :
• R×θ