NOTION Définition-et-propriétés

Le 20-03-2019

Trigonométrie

Les fonctions sinus et cosinus
Définition et propriétés
Définition
Fonctions sinus et cosinus
Dans le plan muni du repère orthonormé (O,⃗i; ⃗j),
tout point M sur le cercle trigonométrique
⃗ ).
détermine un angle θ = (⃗i, OM
On définit alors cos(θ) et sin(θ) comme étant
respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point
M dans le repère (O,⃗i, ⃗j).
M a donc pour coordonnées :
• M (cos(θ) , sin(θ))

Propriété
Valeurs remarquables
Le tableau suivant donne des valeurs particulières
du sinus et du cosinus :
 

angle (rad)

0

cosinus

1

sinus

0

π
6

3
2
1
2

π
4

2
2

2
2

π
3
1
2

3
2

π
2
0

π

1

0

-1

Propriété
Relations entre sinus et cosinus
Le fonctions sinus et cosinus vérifient les inégalités
:
• −1 ≤ sin(x) ≤ 1
• −1 ≤ cos(x) ≤ 1
De plus, pour un angle x donné, on a les relations :
Sinus
• sin(−x) = − sin(x)
• sin(x + π) = − sin(x)
• sin(x + 2π) = sin(x)
• sin(π − x) = sin(x)
Cosinus
• cos(−x) = cos(x)
• cos(x + π) = − cos(x)
• cos(x + 2π) = cos(x)
• cos(π − x) = − cos(x)
Sinus et cosinus

• sin(x + π2 ) = cos(x)
• cos(x + π2 ) = − sin(x)
• cos( π2 − x) = sin(x)
• sin( π2 − x) = cos(x)
• sin2 (x) + cos2 (x) = 1

Cosinus d’une somme
Soient x et y des réels.
• cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
• cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)

Sinus d’une somme
Soient x et y des réels.
• sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
• sin(x − y) = sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y)

Sinus et cosinus de 2x
Soit x un réel. En prenant le cas particulier où x =
y, on obtient les formules suivantes  :
• cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 1 − 2sin2 (x) =
2cos2 (x) − 1
• sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)