1°S – CHAP 09 – TRIGONOMETRIE ET ANGLES ORIENTES – 1cours

Le 20-03-2019

1°S

TRIGONOMETRIE
 Le cercle trigonométrique et les radians :
B

M

Sens
trigonométrique

θ
Γ

On définie le sens trigonométrique comme
étant le sens inverse des aiguilles d’une
montre.

A

O

Le cercle trigonométrique est un cercle Γ de
rayon 1.

Qu’est ce que les radians ?
Les radians, c’est l’unité de mesure d’un angle θ avec un nombre réel. C’est la longueur de
l’arc AM sur le cercle trigonométrique (c’est à dire de rayon 1). On partira toujours du
point A en allant dans le sens trigonométrique.
Un tour complet représente un angle de 360°, donc AM est la longueur du cercle
trigonométrique, c’est à dire 2π  1. Donc 360° = 2π radians, et 180° = π radians, puis
π
90° = radians , etc…
2

 Cosinus, sinus et tangente :
axe des tangentes
T
B M
Sin θ

tan θ

θ
O

cos θ

A

Dans le repère orthonormé (O, OA , OB ), soit θ un angle
mesuré en radians dans le cercle trigonométrique et M le point
du cercle correspondant à cet angle, nous définissons :

cos θ, le cosinus de l’angle θ, est l’abscisse de M.

sin θ, le sinus de l’angle θ, est l’ordonnée de M.

tan θ, la tangente de l’angle θ, est la longueur AT,
avec T le point d’intersection entre les droites
(OM) et (AT), axe des tangentes (d’origine A).

Γ

 Angles remarquables :

MATHEMATIQUES

θ(°)

0

θ(rad)

0

sin θ

30
π
6

45
π
4

60
π
3

90
π
2

0

1
2

2
2

3
2

1

cos θ

1

3
2

2
2

1
2

0

tan θ

0

3
3

1

3

CHAPITRE 9 : TRIGONOMETRIE ET ANGLES ORIENTES – Fiche de cours – 1

1°S

 Angles associés et formules de base :
cos (–θ) = cos θ
cos (π – θ) = – cos θ
cos (π + θ) = – cos θ
π
cos ( – θ) = sin θ
2
π
cos ( + θ) = – sin θ
2

sin (–θ) = – sin θ
sin (π – θ) = sin θ
sin (π + θ) = – sin θ
π
sin ( – θ) = cos θ
2
π
sin ( + θ) = cos θ
2

cos² θ + sin² θ = 1
sin θ
tan θ =
cos θ
tan (–θ) = – tan θ
tan (π – θ) = – tan θ
tan (π + θ) = tan θ

 Formules d’addition :
cos ( a – b ) = cos a . cos b + sin a . sin b
sin ( a – b ) = sin a . cos b – cos a . sin b
cos ( a + b ) = cos a . cos b – sin a . sin b
sin ( a + b ) = sin a . cos b + cos a . sin b

tan a + tan b
1 – tan a . tan b
tan a – tan b
tan ( a – b ) =
1 + tan a . tan b
tan ( a + b ) =

 Formules de duplication et linéarisation :
cos 2a = (cos²a – sin²a) = (2 cos²a – 1) = (1 – 2 sin²a)
sin 2a = 2 sin a.cos a
2 tan a
tan 2a =
1 – tan2 a

1 + cos 2a
2
1 – cos 2a
sin² a =
2
cos² a =

 Equations trigonométriques :
 x  y  2k

cos x  cos y  ou
 x   y  2k

MATHEMATIQUES

 x  y  2k

sin x  sin y  ou
 x    y  2k

CHAPITRE 9 : TRIGONOMETRIE ET ANGLES ORIENTES – Fiche de cours – 2

1°S

LES ANGLES ORIENTÉS
 Définition :

B
Par définition, l’angle θ est égal à l’angle orienté ( OA , OB ),
il est égal à l’angle qui sépare les vecteurs unitaires du cercle

B’

trigonométrique Γ, c’est à dire ( OA’, OB’).
θ

A
A’

O

Propriété 1 :

Γ

Soit u et v des vecteurs non nuls, pour tout réel k > 0 et k’ > 0,
(k . u , k’. v ) = ( u , v )

on a :

 Mesure d’un angle orienté :
Les mesures en radians de l’angle ( u , v ) sont de la forme x + 2kπ, avec x  IR et k  . On
rajoute 2kπ pour tenir compte de tous les tours complets qui se rajoutent ou se retranchent à
π π
π
π
l’angle. Par exemple 30° = 30° + 360° = 390° , etc… Donc = + 2π = + 4π = – 2π , etc…
6 6
6
6
On écrira donc désormais ( u , v ) = x + 2kπ, k  , (On écrit aussi : x[2π], « x modulo 2π »).
Définition :
La mesure principale d’un angle ( u , v ) est son unique mesure en radians dans
l’intervalle ]-π ; π] .
Propriété 2 :
Soit u , v et w des vecteurs non nuls. On a la relation de Chasles pour les angles :
(u,v) + (v,w) = (u,w)

 Repérage polaire :
M

y

Coordonnées cartésiennes, repère (O, i , j ) .

ρ
j

Coordonnées polaires, avec ρ = OM et θ = ( i , OM ).
θ

O i

x

Un point M dans un plan peut être repéré dans un repère orthonormé (O, i , j ), grâce à ses
coordonnées (x ; y) : ce sont ses coordonnées cartésiennes. Mais on peut aussi repérer ce point
avec un module (le rayon OM) et un argument (l’angle θ) : ce sont ses coordonnées polaires.
Changement de repère :

MATHEMATIQUES

x = ρ.cos θ
y = ρ.sin θ

ρ = x2  y2

; cos θ =

x
ρ

et sin θ =

y
ρ

CHAPITRE 9 : TRIGONOMETRIE ET ANGLES ORIENTES – Fiche de cours – 3