NOTION Les-suites-arithmétiques

Le 20-03-2019

Les suites

Suites arithmétique et géométrique
Les suites arithmétiques
Définition
Suite arithmétique
Une suite (un ) est dite arithmétique s’il existe r ∈ R
tel que pour tout n ∈ N :
• un+1 = un + r
• Le réel r est appelé raison de la suite (un ).
Exemple
La suite définie par un+1 = un + 3 et u0 = 0 est
arithmétique de raison 3. On peut calculer les
premiers termes :
• u0 = 0 ;
• u1 = u0 + 3 = 3 ;
• u2 = u1 + 3 = 6, etc.
Remarque
Cela signifie que si (un ) est une suite arithmétique
de raison r, on peut calculer un terme de la suite
à l’aide du précédent en lui ajoutant r.
Propriété
Expression explicite des termes d’une suite
arithmétique
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r. Alors
pour n ∈ N , on a :
• un = u0 + n × r
On a une formule similaire à partir d’un rang p
quelconque. Pour n ≥ p :
• un = up + (n − p) × r
Exemple
En reprenant la suite définie précédemment par
:
• un+1 = un + 3 ;
• u0 = 0.
On a pour n ∈ N :
• un = 3n
Propriété
Somme de termes d’une suite arithmétique
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r. Alors
pour n ∈ N :
• u0 + u1 + · · · + un =

(n+1)(u0 +un )
2

Exemple
En posant un = n (suite arithmétique de raison 1),
on a d’après ce qui précède :
• 1 + 2 + ··· + n =

n(n+1)
2

Propriété
Somme de termes d’une suite arithmétique à
partir d’un certain rang
La somme de termes consécutifs d’une suite
arithmétique se calcule selon la formule :
• nombredetermes ×

premierterme+dernierterme
2

Exemple
En reprenant la suite définie précédemment par
un+1 = un +3 et u0 = 0, on a en utilisant la propriété
:
• u0 + u1 + · · · + un =

(n+1)(u0 +un )
2

Or comme c’est une suite arithmétique de raison
3, pour n ∈ N   un = 3n :
• u0 + u1 + · · · + un =

(n+1)(0+3n)
2

=

3n(n+1)
2