NOTION Études-de-suites

Le 20-03-2019

Les suites

La notion de suite
Études de suites
Définition
Suite croissante, suite décroissante et suite
monotone
Une suite (un ) sera dite :
• croissante si pour tout n ∈ N , un ≤ un+1 ;
• strictement croissante si pour tout n ∈ N ,
un un+1 ;
• monotone

(respectivement

monotone)

si

elle

est

strictement

croissante

ou

décroissante (respectivement strictement
croissante ou strictement décroissante).
Définition
Suite constante
Une suite (un ) sera dite constante si pour tout n ∈
N:
• un = un+1
Exemple
• La suite définie par un = n pour tout n ∈ N
est strictement croissante car :
– un+1 = n + 1 > n = un
• La suite définie par récurrence selon un+1 =
un − 1 pour tout n ∈ N et u0 = 3 est
strictement décroissante car :
– un+1 = un − 1 −1 = u1
– u1 = −1 −1 = un+1
• En revanche, si n est impair, alors n + 1 est
pair et donc :
– un = −1 < 1 = un+1
Remarque
• Dire qu’une suite croît exprime le fait que les
termes de la suite sont toujours plus grands
que les précédents.

Dire qu’elle décroît

traduit que ces termes sont toujours plus
petits que les précédents.
• Les suites strictement croissantes sont a
fortiori croissantes, mais la réciproque est
fausse. On peut par exemple définir la suite
(un ) par u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2, et un = 3 pour
tout n ≥ 3 : cette suite est croissante mais
pas strictement, car par exemple u3 = u4 . De
même, les suites strictement décroissantes
sont décroissantes.
Propriété
Variations d’une suite définie par une relation
du type un = f (n)
Soit (un ) une suite définie selon : un = f (n)  pour
tout n ∈ N , où f est une fonction définie sur R+ .
Alors :
• si

est

croissante

(respectivement

strictement

croissante)

alors

f

croissante

(respectivement

(un )

est

strictement

croissante).
• si

f

est

décroissante

(respectivement

strictement décroissante) alors (un ) est
décroissante (respectivement strictement
décroissante).
Propriété
Variations d’une suite définie par récurrence
Soit (un ) une suite définie par récurrence selon :
un+1 = f (un )
pour tout n ∈ N .
• Si f croît alors :
– si u0 ≤ u1 , (un ) est croissante ;
– si u0 ≥ u1 , (un ) est décroissante.
• Si f décroît, alors en général (un ) n’est ni
croissante ni décroissante, même si c’est un
cas possible.
Exemple
• La suite définie selon un = −n2 pour tout n ∈
N est décroissante car la fonction f : x 7→ −x2
décroît R+ .
• La suite définie par récurrence selon un+1 =
5un −2 pour tout n ∈ N et u0 = 4 est croissante
car :
– la fonction f

:

x

7→

5x − 2 est

croissante (car affine de coefficient
directeur positif) ;
– et de plus u0 = 4 < 18 = u1 .
Remarque
• Ces propriétés permettent d’étudier le sens
de variations de certaines suites en se
rapportant à celui des fonctions qui les
définissent. Il est donc important de savoir
aussi étudier les fonctions !
• Ne pas confondre les deux propriétés
précédentes qui ont des résultats différents
selon que (un ) est du type un = f (n) ou
un+1 = f (un ). En effet prenons l’exemple de
la suite définie par u0 = 0, un+1 = un − 1 pour
tout entier n.
Le calcul des premiers termes donne :
u1 = −1, u2 = −2, u3 = −3 etc. De sorte que
la suite n’est pas croissante (en fait, elle est
décroissante).
Or la fonction qui définie la suite est
f (x) = x − 1, qui est croissante.
Cela s’explique par le fait que u0 ≥ u1 .
Définition
Suites minorées, majorées et bornées
Une suite (un ) est dite :
• minorée s’il existe m ∈ R tel que pour tout
n∈N :
– m ≤ un ;
– un tel m est appelé minorant de la suite
;
• majorée s’il existe M ∈ R tel que pour tout
n∈N :
– un ≤ M ;
– un tel M est appelé majorant de la suite
;
• bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Exemple
La suite un =

1
n+1

est majorée car pour n ∈ N , n +

1 ≥ 1 donc un ≤ 1.
Elle est aussi minorée : comme elle est positive on
a un ≥ 0, donc 0 est un minorant de la suite.
Ainsi (un ) est à la fois minorée et majorée donc
elle est bornée.
Remarque
Pour une suite, être majorée revient à dire que ses
termes ne dépasseront jamais une certaine valeur.
Par exemple, une suite définissant la proportion
d’élèves scolarisés au lycée en France par rapport
à la population totale au cours des années est
majorée, car elle ne pourra jamais dépasser 100 %.