NOTION Définition-et-modes-de-génération-des-suites

Le 20-03-2019

Les suites

La notion de suite
Définition et modes de génération des suites
Définition
Une suite  (un ) est une fonction de N dans R.
On dit que un est le terme d’indice n de la suite.
Exemple
La série des chiffres impairs 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; etc. peut
être définie à l’aide d’une suite, en posant :
• u0 = 1 ;
• u1 = 3 ;
• u2 = 5 ;
• u3 = 7, etc.
On remarque ici que le terme d’indice n de la suite
ainsi construite vérifie :
un = 2n + 1
Remarque
• Attention à bien distinguer les notations (un )
(qui désigne la suite elle-même, c’est-à-dire
une fonction de N dans R) et un (qui est le
terme d’indice n de la suite, c’est à dire un
nombre).
• Une suite traduit mathématiquement l’idée
d’une succession de valeurs. On peut par
exemple définir la suite dont le terme de
rang n est la population totale en France
en l’année n. On aurait alors pour certains
termes :
… ; u2012 = 65 252 000 ; u2013 = 65 543 000 ; u2014 =
65 821 000.
Définition
Modes de génération d’une suite
Afin de définir la valeur du terme de rang n d’une
suite (un ), il existe différentes possibilités, dont les
deux suivantes :
• De façon explicite :
– un = f (n) pour tout n.
– L’écriture du terme de rang n de la suite
ne dépend que de n et de la fonction f ;
sa valeur est donnée par l’expression de
f (n).
• Par récurrence :
– un+1 = f (un ) pour n ∈ N
– u0 = a où a est un réel fixé.
– Ici la valeur du terme de rang n + 1
dépend du terme de rang n et d’une
fonction f , mais plus de n. De plus, le
premier terme de la suite, u0 , est fixé par
le réel a.
Exemple
• La suite (un ) définie par un =


n pour tout n

est construite de façon explicite, à l’aide de la
fonction racine carré. Calculons les premiers
termes :
– u0 = 0 ;
– u1 = 1 ;

– u2 = 2 ;

– u3 = 3 ;

– u4 = 4 = 2, …
• La suite (un ) définie par un+1 = un + 3 pour
n ∈ N et u0 = 1 est définie par récurrence.
Pour obtenir un terme de la suite, on prend
le précédent et on ajoute 3. Et sachant que
la suite commence à u0 = 1, on peut calculer
ainsi tous les termes :
– u0 = 1 ;
– u1 = u0 + 3 = 1 + 3 = 4 ;
– u2 = u1 + 3 = 4 + 3 = 7, etc.
Remarque
D’autres modes de génération peuvent apparaître
:
• Le terme de rang n+1 peut dépendre à la fois
de n et de un comme dans la suite définie par
un+1 = un + n et u0 = 0.
• Dans un problème, il est aussi possible
qu’une suite ne soit pas donnée par
une formule, mais par une construction
géométrique,

ou bien par un énoncé

(comme dans l’exemple précédent avec la
suite donnant l’évolution de la population
française en fonction de l’année).
Définition
Représentation graphique d’une suite définie
par récurrence
Pour représenter sur un axe une suite (un ) définie
par récurrence selon un+1 = f (un ), on peut suivre
les étapes suivantes :
• tracer la courbe représentative de f et
celle de g

:

x

7→

x (c’est une droite

appelée première bissectrice du repère, car
elle coupe en deux l’angle entre l’axe des
abscisses et l’axe des ordonnées) dans un
même graphique (Oxy) ;
• placer le premier terme u0 sur l’axe (Ox) ;
• en utilisant la courbe de la fonction f , placer
l’image de u0 par f sur l’axe (Oy). On a ainsi
trouvé l’emplacement de u1 = f (u0 ) sur l’axe
(Oy) ;
• Utiliser la courbe de g

7→

x pour

repositionner u1 sur l’axe (Ox).

Puis

:

recommencer à l’étape 1.
u1 .

x

avec le terme