NOTION Résultats-sur-les-triangles

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Applications du produit scalaire
Résultats sur les triangles
Remarque
Le

produit

scalaire

permet

de

démontrer

plusieurs résultats très utiles sur les triangles
permettant

de

calculer un angle ou une

longueur manquante d’un triangle.
Théorème
Théorème de la médiane
Soit un triangle ABC.
Soit I le milieu de [BC].
On a :
• AB 2 + AC 2 = 2AI 2 +

BC 2
2

Exemple
Un randonneur parcourt un sentier reliant une
ville A à une ville B.

Le sentier fait un détour

par un point C, alors qu’il existe une route de 9
km reliant les deux villes de façon directe. Arrivé
au point C, le randonneur lit sur un panneau
qu’il a parcouru 5 km depuis la ville A, et qu’il
lui reste encore 7 km pour atteindre la ville B.
Un troisième sentier propose de l’emmener à un
arrêt de bus I situé sur la route, à mi chemin entre
les deux villes. Quelle distance doit-il marcher
pour atteindre I ?
On est dans la bonne situation pour appliquer le
théorème de la médiane :
• BC 2 + CA2 = 2CI 2 +

AB 2
2

On cherche CI.
2

• ⇔ 2CI 2 = BC 2 + CA2 − AB
2


BC 2 +CA2
72 +52
AB 2
• ⇔ CI =

=

2
4
2

74
81
2 − 4 ≈ 4, 1 km

92
4

=

Le randonneur se situe à 4, 1 km de l’arrêt de bus.
Remarque
Dans les énoncés de géométrie parlant de
médiane ou de distance à un point milieu d’un
segment, il faudra que tu aies bien en tête ce
résultat, il pourrait beaucoup t’aider.
Propriété
Formule d’Al Kashi
Soit un triangle ABC.
On note BC = a, AC = b, et AB = c.
On a :
• a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â
Remarque
• Le résultat est aussi vrai pour les autres côtés
(fais « tourner » les lettres dans la formule) :
– b2 = c2 + a2 − ca cos B̂
– c2 = a2 + b2 − bc cos Ĉ
• Pour bien la mémoriser tu dois comprendre
la logique de cette formule.

Ainsi pour

calculer la longueur au carré d’un côté d’un
triangle, tu sommes :
– les carrés des autres côtés du triangle
(comme pour Pythagore) ;
– le double du produit de ces deux autres
côtés, multiplié au cosinus de l’angle
formé par ceux-ci.
• Dans le cas d’un triangle rectangle, le cosinus
de l’angle droit est nul, on retrouve alors le
célèbre théorème de Pythagore.
Exemple
Soit ABC un triangle tel que AB = 3, AC = 5,
 = 60°.
Calculons la longueur du côté BC.
Selon Al Kashi (on utilise la formule faisant
intervenir l’angle que l’on connaît) :
• BC 2 = AC 2 + AB 2 − 2AC × AB × cos Â
• BC 2 = 52 +32 −2×5×3×cos π3 = 25+9−30× 21 =
34 − 15 = 19
Or, puisque BC étant une longueur, elle est
forcément positive :
• BC =


19 ≈ 4, 36

Propriété
Formule des sinus
Soit un triangle ABC.
On note BC = a, AC = b, et AB = c.
On a  :

a
sin Â

=

b
sin B̂

=

c
sin Ĉ

Exemple
Soit le triangle ABC tel que AB = 1, BC =


2, Â =

135°.
Calculons la valeur de l’angle Ĉ du triangle.
D’après la formule des sinus :

BC
sin Â

=

AB
sin Ĉ

• ⇔ sin Ĉ ×

BC
sin Â

= AB


• ⇔ sin Ĉ = AB × sin
BC = 1 ×

sin 3π
√4
2

=

√1
2

×

2
2

=

1
2

Donc
• Ĉ =

π
6

ou


6

Or, on sait que dans un triangle, la somme des
trois angles vaut 180° (π rad), comme  =
ne peut pas valoir


6

car


4

+


6

=

19π
12


4 ,

> π :

on dépasse π en sommant simplement deux des
angles.
Donc :
• Ĉ =

π
6

Remarque
• Attention à la subtilité de la notation des
côtés du triangle : on a noté a le côté opposé
à l’angle Â, c’est le côté [BC] qui n’a pas de A
dans son nom.
Ainsi, la formule s’écrit : cos(α) =

côté opposé
sin(angle) .