NOTION Équations-de-cercles-et-de-droites

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Applications du produit scalaire
Équations de cercles et de droites
Remarque
Le

produit

scalaire

la

détermination

est

très

d’équations

utile
de

dans
figures

géométriques par sa propriété majeure qui est
d’être nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux.
Définition
Vecteur normal à une droite
Un vecteur normal à une droite est un vecteur
non nul orthogonal à tout vecteur directeur de la
droite.
Soient (d) une droite et ⃗n un vecteur.
• Pour tout ⃗n vecteur normal de (d) quelque
soit ⃗u, vecteur directeur de (d), ⃗n · ⃗u = 0.
Propriété
Équation de droite et vecteur normal
Soit (d) une droite, ⃗n(a; b) un vecteur, dans repère
orthonormé.
• n(a; b) est un vecteur normal de (d) ⇔ une
équation cartésienne de (d) peut se mettre
sous la forme : ax + by + c = 0, avec c un réel.
Exemple
Prenons la droite (d) d’équation cartésienne x +
2y + 3 = 0.
On sait (voir leçon sur la géométrie plane) que
le vecteur ⃗u(−2; 1) est un vecteur directeur de
cette droite. Vérifions qu’il est bien orthogonal au
vecteur ⃗n(1; 2).
• ⃗u · ⃗n = −2 × 1 + 1 × 2 = −2 + 2 = 0
• Les deux vecteurs sont bien orthogonaux.
• ⃗n est bien un vecteur normal de (d).
Remarque
• Cette astuce permet d’éviter des calculs
fastidieux, mais dans certains cas il te faudra
revenir à la définition du vecteur normal,
et poser l’équation avec pour inconnues les
coordonnées du vecteur.
• Cette équation est à mettre en perspective
avec le résultat sur le vecteur directeur
⃗u(−b, a) de toute droite d’équation ax + by +
c = 0, c ∈ R.
Propriété
Équation de cercle
Soit C un cercle de centre O(xo ; yo ) et de rayon R
dans un repère orthonormé.
Soit M un point du plan.
• M (x, y) ∈ C ⇔ (x − xo )2 + (y − yo )2 = R2
C’est l’équation du cercle C.
Propriété
Cercle et diamètre
Soit M un point du plan.
Un cercle C peut être décrit simplement par les
deux points formant son diamètre, disons A et B.
Dans ce cas, il faudra résoudre l’équation suivante
:
• M ∈ C ⇔ M⃗A · M⃗B = 0
Remarque
Cela traduit directement le fait que tout triangle
inscrit dans un cercle, et dont un des côtés est le
diamètre du cercle, est un triangle rectangle ; le
diamètre du cercle étant son hypoténuse.