DEMO Utiliser-les-relations-entre-les-angles-et-les-côtés-d’un-triangle

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Utiliser les relations entre les angles
et les côtés d’un triangle.
ˆ = 45° et
Soit un triangle ABC tel que AB = 10, BAC
ˆ = 60°
ACB
• Donne un arrondi, à 0, 1 près de la distance BC.
• Donne un arrondi, à 0, 1 près de la distance AC.

Etape 1 : Faire la figure
Un tel énoncé est très abstrait, et il est difficile de se
le représenter fidèlement dans sa tête. Le mieux est
de faire une figure. Celle-ci te permettra de saisir la
logique interne de l’exercice.
Ici, on fixe un triangle à l’aide de deux angles et de
la longueur d’un côté (trois données, quelles qu’elles
soient suffisent à définir entièrement un triangle), on va
chercher à retrouver la longueur des deux autres côtés
à partir de ces données à l’aide des formules d’Al Kashi
et de la formule des sinus.
La figure, si elle est bien faite, te permettra de plus de
vérifier tes résultats.

Etape 2 : Choisir la bonne formule
La difficulté de ce type d’énoncé est de réussir à
déterminer quel résultat utiliser (Al Kashi, ou relation
des sinus ?).
Le mieux alors consiste à réécrire ces deux formules
de façon à obtenir ce qu’on recherche ici :

une

longueur. On en déduira facilement quelles données
sont nécessaires pour chaque formules, ce qui nous
permettra de choisir laquelle utiliser dans chaque
situation.
Al Kashi :
• a2 = b2 + c2 − 2ab cos Â
On a besoin de l’angle opposé au côté recherché et des
deux côtés adjacents à cet angle.
Formule des sinus :

a
sin Â

=

b
sin B̂

⇔a=

b sin Â
sin B̂

On a besoin d’un côté et de deux angles.
Pour la première question, nous connaissons deux
angles et une longueur, nous allons donc utiliser la
formule des sinus.

Etape 3 : Appliquer la formule
Attention, cette étape est délicate, il ne faut pas se
tromper en réécrivant la formule avec les données de
l’énoncé : ce qu’on appelle « a » est le côté opposé à
l’angle Â.
Selon la formule des sinus, nous avons ici (on prend la
partie de la formule faisant intervenir le côté recherché
BC, et celui connu AB) :

AB
sin Ĉ

=

BC
sin Â

Soit, en arrangeant :
• ⇔ BC =

AB sin Â
sin Ĉ

Remplacer avec les valeurs de l’énoncé et arrondir le
résultat
• BC =

AB sin Â
sin Ĉ

• BC =

10×


2
√ 2
3
2

=

=

10 sin 45
sin 60


10×
√ 2
3

≈ 8, 2

Attention de ne pas te mélanger entre degré et
radians, si tu utilises la calculatrice pour calculer les
sinus, vérifie qu’elle soit bien réglée.
Pense à compléter ta figure, ça t’aidera à réfléchir pour
la suite.

Etape 4 :

Suivre la même logique pour

trouver le second côté
Maintenant que nous connaissons deux côtés du
triangle, il nous est possible d’appliquer Al Kashi.
Selon Al Kashi :
• AC 2 = BC 2 + AB 2 − 2BC × AB cos B̂
D’où (AC étant une distance, on sait qu’elle est positive)
:
• AC =


BC 2 + AB 2 − 2BC × AB cos B̂

Or, on sait que dans un triangle la somme des angles
vaut 180°, donc
• B̂ = 180 − Â − Ĉ = 180 − 45 − 60 = 180 − 105 = 75°
D’où en remplaçant avec les valeurs :
• AC =


8, 22 + 102 − 2 × 8, 2 × 10 cos 75

• AC ≈ 11, 2

Etape 5 : Questions bonus
• Nous avons choisi d’appliquer Al Kashi pour la
question 2, mais on aurait pu aussi utiliser la
formule des sinus. Tu peux le faire pour t’entraîner,
tu dois tomber sur le même résultat (tu verras que
c’est plus facile).
• De façon similaire, ces formules peuvent être
utilisées pour calculer les angles d’un triangle
à partir de la donnée des longueurs des côtés.
Pour t’entraîner, tu peux reprendre cet exercice en
considérant que tu ne connais que les longueurs
des côtés (AB = 10, BC = 8, 2, et AC = 11, 2), et
essayer de retrouver les valeurs des angles (de façon
approximative puisque les longueurs utilisées sont
des approximations). Il te faudra appliquer Al Kashi
dans un premier temps, pour trouver un premier
angle, puis tu pourras utiliser la formule des sinus
pour les deux autres angles, plus facile à appliquer,
et moins calculatoire. Bonne chance !