DEMO Utiliser-les-formules-d’addition-et-de-duplication-de-sinus-et-cosinus

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Utiliser les formules d’addition et de
duplication de sinus et cosinus.
• Calcule

et en déduire cos 5π
12 .


√ √
2
• Déduis-en que cos( 5π
2( 3 − 1) + 4.
24 ) = 4
π
6

π
4

+

Etape 1 : Comprendre l’énoncé
Il faut faire particulièrement attention à bien lire
l’énoncé lorsqu’il contient les mots « en déduire ».
Ceux-ci peuvent paraître quelconques, ils t’exposent
pourtant la logique de l’exercice. Ils t’indiquent quand
les questions sont liées entre elles, quand il faut utiliser
un résultat déjà prouvé pour répondre à une question.
Ici, typiquement, on comprend dans la première
question, qu’on cherche à te faire utiliser le fait que
π
6

+ π4 =


12

pour calculer cos 5π
12  par le biais de la formule

de cos (a + b).

Etape 2 : Calculer

π
6

+

π
4

=


12

+


12

π
6

=

+

π
4


12

C’est bien ce que l’on s’attendait à trouver.

Etape 3 : Utiliser la formule d’addition de
cosinus
On a alors :
π
π
• cos 5π
12 = cos ( 6 + 4 )

Or, d’après la formule d’addition du cosinus (en prenant
a=

π
6

et b =

π
4)

:

• cos ( π6 + π4 ) = cos π6 cos π4 − sin π6 sin π4

Etape 4 :

Simplifier avec les valeurs

particulières de sinus et cosinus que tu
connais
Soit :
• cos 5π
12 =


3
2

• cos 5π
12 =

√ √
2( 3−1)
4

×

2
2

1
2

×

2
2

=


3× 2
4

2
4

Etape 5 : Appliquer la formule de duplication
de cosinus
• cos 5π
12 = cos 2 ×


24

Or, d’après la formule de cours :
• cos (2 ×


24 )

= 2 cos2 ( 5π
24 ) − 1

1

• ⇔ cos2 ( 5π
24 ) = 2 (cos ( 12 ) + 1)

1

• ⇔ cos( 5π
)
=
24
2 (cos ( 12 ) + 1)

Etape 6 : Utiliser le résultat de la question
précédente et simplifier
Il ne faut pas perdre ici de vue que la question 2
commençait par « en déduire », et il faut tout de suite
penser à mobiliser la question précédente.
Selon le résultat prouvé précédemment, on a alors
:
• cos( 5π
24 ) =


1
2(

√ √
2( 3−1)
4

+ 1)

Simplifions pour retrouver la forme demandée.
√ √ √
1
• cos( 5π
)
=
24
8 ( 2( 3 − 1) + 4)
• cos( 5π
24 ) =
• cos( 5π
24 ) =

√1
8

√√ √
2( 3 − 1) + 4

√ √√ √
√2
2( 3
16

− 1) + 4

√ √√ √

• cos( 24 ) = 42
2( 3 − 1) + 4

C’est bien ce qu’il fallait démontrer, tout va bien !